Двоюродный брат адмирала Владимира Высоцкого.
Родился в городе Белёве Тульской области в семье военнослужащего. По национальности — русский. Член КПСС с 1970 года. Окончил 11 классов в городе Термезе Сурхандарьинской области Узбекской ССР. Работал помощником геодезиста в строительном тресте города Термеза.
На службе в Советской Армии с 1966 года. В 1970 году окончил Ташкентское высшее танковое командное ордена Ленина училище, в 1978 году — Военную академию имени М. В. Фрунзе.
Проходил службу в Южной группе войск и Краснознамённом Туркестанском военном округе.
С декабря 1979 года по июль 1982 года Евгений Высоцкий находился в составе ограниченного контингента советских войск в Демократической Республике Афганистан.Командует 180-м мотострелковым полком 108-й Невельской Краснознамённой мотострелковой дивизии с апреля 1981г.в звании майора. Восемьдесят семь раз участвовал в рейдовых операциях по разгрому бандформирований.
Возвратившись в Советский Союз, Евгений Высоцкий в 1982—1986 годах продолжил службу в Краснознамённом Одесском военном округе: командир мотострелкового полка, начальник штаба и командир мотострелковой дивизии.
В 1988 году Евгений Высоцкий окончил Военную академию Генерального штаба. С 1988 года — начальник штаба общевойсковой армии. С 1989 года — командующий общевойсковой армией в Краснознамённом Дальневосточном военном округе. С 1991 года — первый заместитель командующего войсками Забайкальского военного округа.
После распада СССР, Указом Президента РФ от 19 августа 1992 года № 904 генерал-лейтенант Высоцкий Е. В. назначен начальником Главного управления подготовки и распределения кадров Министерства обороны РФ — заместитель Министра обороны РФ, позднее эта должность была переименована в начальника Главного управления кадров Министерства обороны РФ — заместитель Министра обороны РФ.
В 1993 году генерал-лейтенанту Высоцкому Е. В. присвоено воинское звание «генерал-полковник». В 1996—1997 — генерал-инспектор Главной военной инспекции Министерства обороны РФ.
С 1997 года генерал-полковник Высоцкий Е. В. — в запасе. Жил в городе-герое Москве. Скончался 5 мая 2011 года. Похоронен на Троекуровском кладбище.
Указом Президиума Верховного Совета от 20 сентября 1982 года за мужество и героизм, проявленные при оказании интернациональной помощи Демократической Республике Афганистан подполковнику Высоцкому Евгению Васильевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 11483).