Отец — Владимир, бывший игрок дубля ленинградского «Зенита», мать — Раиса Павловна, педагог.
В сборной СССР Евгений дебютировал 19 декабря 1985 года в возрасте 19 лет на турнире на приз «Известий» в игре со шведами. Был основным голкипером сборной СССР на протяжении 1986 и 1987 годов.
Был выбран клубом НХЛ «Эдмонтон Ойлерз» на драфте 1991 года в 11-м раунде под общим 232-м номером. Однако в НХЛ не попал, пробыв всего полгода в фарм-клубе «Эдмонтона».
Из-за неоднократных нарушений спортивного режима осенью 1989 года был отчислен из ЦСКА. Позже из-за аналогичных проблем покинул СКА и Ижорец.
Жизнь после хоккея у Белошейкина не сложилась. Дополнительным сильным потрясением для него стало убийство отца неизвестными в одном из питерских кафе.
Был дважды женат, но оба брака распались. Работал в ЧОПе, но чаще был просто безработным.
Во время приступа депрессии покончил жизнь самоубийством (повесился) 18 ноября 1999 года в Санкт-Петербурге. Похоронен на Богословском кладбище.