Абельсон родился в городе Такома (штат Вашингтон). В 1935 году окончил колледж в Вашингтоне. Начиная с 1939 года (за исключением 1941-46, когда участвовал в Манхэттенском проекте) Абельсон работал в Технологическом институте Карнеги, в том числе в 1953-71 в качестве директора геофизической лаборатории, в 1971-78 — президента института. С 1962 года по 1984 год был редактором журнала Science. В 1972-74 годах выбирался президентом Американского геофизического общества.
Работы Абельсона посвящены ядерной физике, ядерной химии, органической геохимии, биофизике, микробиологии, проблеме возникновения жизни. Вместе с Э. Макмилланом считается пионером в исследовании трансурановых элементов. В 1940 году они открыли первый такой элемент — нептуний. В работах ученого также обсуждаются вопросы деления ядра, идентификации продуктов деления урана, разделения изотопов урана. В частности, в 1940 году им был предложен метод термодиффузии для разделения урановых изотопов. Стоит отметить также работы по биосинтезу микроорганизмов, аминокислотам в окаменелостях и горных породах.