С 1912 по 1916 год учился в Уппсальском университете. Позже работал в метеорологическом институте в Уппсале и гидрографическом институте. Мальмгрен участвовал в арктической экспедиции на корабле «Мод» вместе с Руалем Амундсеном и Харальдом Свердрупом в 1922—1925 годах и в экспедиции на дирижабле «Норвегия» под командованием Умберто Нобиле на Северный полюс в 1926 году.
Мальмгрен был одним из участников экспедиции Нобиле в Арктику 1928 года на дирижабле «Италия». 25 мая произошла катастрофа дирижабля. Из шестнадцати членов экипажа семеро погибли, а оставшиеся, в том числе Мальмгрен, были выброшены на лёд. При этом Мальмгрен повредил плечо. 30 мая Мальмгрен и два итальянских штурмана Филиппо Цаппи и Адальберто Мариано вышли из лагеря, чтобы, добравшись до бухты Конгсфьорд на Шпицбергене, сообщить о катастрофе. Предположительно 15 июня истощённый Мальмгрен сказал спутникам, что у него нет сил идти дальше, и те по просьбе самого Мальмгрена оставили его.
Цаппи и Мариано были обнаружены советским лётчиком Чухновским и приняты на борт ледокола «Красин» 12 июля. Тело Мальмгрена не было найдено, хотя сообщалось, что советский пилот за день до спасения итальянцев видел их вместе рядом с лежащим на льду телом. Поскольку, по описанию очевидцев, Цаппи после спасения хорошо выглядел и носил тёплую одежду Мальмгрена, существует точка зрения, что Мальмгрен мог быть съеден.
В советско-итальянском фильме Михаила Калатозова «Красная палатка» (1969) роль Финна Мальмгрена исполнил Эдуард Марцевич.
Двоюродной сестрой Ф. Мальмгрена ( по матери, урождённой Мальмгрен) была художница Вера Стравинская .