Георгий Вицин родился 5 (18) апреля 1917 года в финском городе Териоки (в настоящее время Зеленогорск (Санкт-Петербург), по официальным данным — 23 апреля 1918 года в Петрограде.
Учился в Театральном училище имени Вахтангова (1934—1935), в студии МХАТ II[уточнить]. С 1936 года — актёр театра-студии под руководством Н. П. Хмелёва. С 1937 года играл в Московском театре им. Ермоловой. В 1969—2001 в театре-студии киноактера.
Официально считается, что дебют Вицина в кино состоялся в фильме «Иван Грозный» Сергея Эйзенштейна (1944), однако, по словам Владимира Цукермана, скрупулёзно собиравшего все факты жизни Вицина, «…Георгий Михайлович признавался мне, что Эйзенштейна в глаза не видел. А дебютировал в фильме Юткевича „Здравствуй, Москва“».
Известность пришла к Вицину после фильма «Запасной игрок», в котором он исполнил роль Васи Веснушкина. Вслед за этим он снялся в фильме «Она вас любит!». Несмотря на то, что в этих картинах Вицин исполнял роли юных пареньков, актёру было уже далеко за 30. Застенчивые и отзывчивые герои Вицина приглянулись зрителю. В то же время он снимался в лентах исторических: «Композитор Глинка» и «Белинский».
Широкую известность Вицину принёс образ Труса, воплощённый им в комедиях Гайдая («Пёс Барбос и необычный кросс», «Самогонщики», «Операция „Ы“ и другие приключения Шурика» и «Кавказская пленница, или Новые приключения Шурика»). Наиболее запоминающиеся роли — авантюрист Сэм из Деловых людей (Вождь краснокожих), Бальзаминов из «Женитьбы Бальзаминова», сэр Эндрю из «Двенадцатой ночи», Хмырь из «Джентльменов удачи», Волшебник из «Старой, старой сказки».
Георгий Вицин обладал талантом к декламации и много работал над озвучиванием мультфильмов. Был прекрасным художником — рисовал карикатуры на актеров, пробовал себя в скульптуре, графике, живописи.
С наступлением 1990-х, когда жизненный уровень резко упал, приходилось, совместно с другими участниками знаменитой троицы, много гастролировать по стране. До последних своих дней играл в Театре киноактёра. Последние годы жил очень скромно. Отдав свою большую квартиру в центре Москвы дочери Наталье, перебрался в «хрущёвку» в Староконюшенном переулке. Крайне ограничивал общение со сторонними людьми, избегал встреч с журналистами. Практически постоянно находился в квартире, выходя на улицу только покормить голубей. От помощи отказывался, говоря: «Не могу взять, ведь люди последнее отдают!».
Георгий Вицин скончался 22 октября 2001 года, (по другим источникам — 23 октября) в одной из московских больниц. Причиной смерти актёра стали хронические заболевания печени и сердца. Похоронен в Москве, на Ваганьковском кладбище.
Супруга — Тамара Фёдоровна (1925—2009), работала костюмершей.