Будучи студентом Высшего технического училища, с 1898 участвовал в спектаклях Общества искусства и литературы. Основная часть труппы, в том числе и Бурджалов, перешла вместе с К. С. Станиславским в организованный в 1898 году Московский Художественный театр.
За время работы в МХТ Бурджалов сыграл 38 ролей, среди них Михаил Головин («Царь Федор Иоаннович» А. К. Толстого, 1898), Леший («Потонувший колокол» Г. Гауптмана, 1898), Ланчелот Гоббо («Венецианский купец» У. Шекспира, 1898), Кадушкин («Самоуправцы» А. Писемского, 1898), Татищев и Шут («Смерть Иоанна Грозного» А. К. Толстого, 1899), Пастер Колин («Одинокие» Г. Гауптмана, 1899), Балле («Дикая утка» Х. Ибсена, 1901), Архитектор Цин («Михаэль Крамер» Г. Гауптмана, 1901), Костылев («На дне» М. Горького, 1902), Бреде («Драма жизни» К. Гамсуна, 1907), Огонь (Синяя птица М. Метерлинка, 1908), Чучельник («У царских врат» К. Гамсуна, 1909), Доврский дед (Пер Гюнт Х. Ибсена, 1912), Маркиз де Форлипополи («Хозяйка гостиницы» К. Гольдони, 1914), Ростаковский (Ревизор Н. В. Гоголя, 1921) и др. Последняя роль — Пан Мусялович в «Братьях Карамазовых» по Ф. М. Достоевскому во время заграничной поездки МХТ в 1922—1924.
Следил за целостностью и ходом спектаклей «Доктор Штокман» Х. Ибсена (1900) и «На дне» М. Горького (1902), был сорежиссером спектаклей «Столпы общества» Г. Ибсена (реж. В. Немирович-Данченко, 1903), одноактных пьес «Слепые», «Непрошенные» и «Там внутри» Метерлинка (реж. Станиславский и Н. Александров, 1904), Пер Гюнт Г. Ибсена (реж. В. Немирович-Данченко и К. А. Марджанову, 1912). Оказывал помощь Станиславскому в Студии на Поварской.
Жена — актриса МХТ Савицкая, Маргарита Георгиевна.