Герберт Берджесс родился 25 февраля 1883 года в Опеншоу, одном из районов Манчестера. После окончания школы Берджесс стал работать кузнецом. Одновременно с этим он, как и многие юноши, играл в футбол, выступая за любительские клубы «Гордон Сент-Френсис», «Опеншоу Юнайтед», «Эдж Лэйн» и «Мосс Сайд». Попробовал себя Берджесс и в большом клубе, пройдя просмотр в «Манчестер Сити», но клубу он не приглянулся. В апреле 1900 года Берджесс подписал свой первый профессиональный контракт, перейдя в «Глоссоп Норд Энд», выступавший в то время во втором английском дивизионе. Дебютировав в матче с «Ливерпулем», Берджесс играл за «Глоссоп» на протяжении 3-х лет, проведя 81 матч.
В июле 1903 года «Манчестер Сити», который за несколько лет до того отказал Берджессу в переходе, выкупил контракт игрока, заплатив 250 фунтов. Берджесс сразу «влился» в игру «Сити», став одним из лидеров обороны, клуб провёл хороший сезон, заняв второе место в чемпионате и выиграв свой первый трофей — Кубок Англии, обыграв в финале «Болтон Уондерерс» со счётом 1:0. В следующем сезоне «Сити» занял 3-е место, проиграв в последнем туре «Астон Вилле» со счётом 1:3, хотя до этого матча «Манчестер Сити» лидировал в чемпионате. Тот матч завершился скандалом: Ален Лейк, игрок «Виллы», рассказал, что Билли Мередит, футболист «Сити», предложил ему взятку в 10 фунтов за проигрыш матча, дальнейшее расследование Футбольной ассоциации выявило, что «Сити» выплачивал игрокам своей команды суммы более 4 фунтов, положенных по законодательству, вследствие всех этих разбирательств несколько игроков «Сити», включая Берджесса, были дисквалифицированы до 1907 года. Контракты игроков были выставлены на аукцион, проходивший в «Королевском отеле». Четверых игроков, включая Берджесса, купил другой клуб из Манчестера — «Манчестер Юнайтед».
Из-за дисквалификации Берджесс и четыре его одноклубника, перешедшие в «Юнайтед», смогли дебютировать в команде лишь 1 января 1907 года в матче с «Астон Виллой», который «Юнайтед» выиграл 1:0. В 1908 году Берджесс вместе с клубом выиграл свой первый титул чемпиона Англии, став одним из «творцов» победы, проведя 28 матчей. В том же сезоне Берджесс стал одним из основателей нового профсоюза футболистов Англии, сформированного после смерти от удара мячом в голову Томаса Блэкстока. В 1909 году Берджесс выиграл свой второй, в карьере, Кубок Англии. В 1910 году Берджесс был вынужден завершить карьеру после травмы колена. Но затем возобновил её, играя в Норвегии и Венгрии.
Берджесс выступал за сборную Англии, в составе которой дебютировал 29 февраля 1904 года с Уэльсом, а всего провёл четыре игры (с Ирландией и две с Шотландией).
Свою работу тренера Берджесс начал в клубе МТК в 1921 году. На следующий год он переехал в Италию в клуб «Падова», где провёл 4 сезона, будучи одним из лучших тренеров в Италии. В 1924 году Берджесс был взят в штаб сборной Италии, которая поехала на Олимпиаду в Париж.