Народный артист УССР (1960). Лауреат Сталинской премии первой степени (1948). Член ВКП(б) с 1946 года.
Григорий Верёвка родился 13 (25) декабря 1895 года в селе Березна (ныне посёлок городского типа Менского района Черниговской области Украины).
В 1916 году окончил Черниговскую духовную семинарию. Учился (1918—1921) и работал (1923—1927) в Киевском МДИ имени Н. В. Лысенко, который окончил в 1933 году экстерном.
С 1919 года руководит самодеятельностью, преподаёт хоровое дирижирование в музыкальных учебных заведениях Киева. С 1931 года преподаёт в КГК имени П. И. Чайковского (с 1947 года — профессор).
В 1941—1945 годах — научный сотрудник Института фольклора АН УССР. В 1943—1952 годах — председатель СК УССР.
В 1943 году организовал Украинский государственный народный хор, в 1943—1964 был его художественным руководителем и главным дирижером хора сыскавшего огромную популярность в СССР и за рубежом. Оркестровую группу музыкального коллектива возглавлял И. И. Антоновский.
Г. Г. Верёвка умер 21 октября 1964 года. Похоронен в Киеве на Байковом кладбище.
Жена — хоровой дирижёр Э. П. Скрипчинская.
Г. Г. Верёвка занимался обработкой народных песен. Написал песни «Ой, як стало зелено», «Ой, чого ти земле молодiти стало», «I шумить, i гуде» и другие.
В 1965 году имя Г. Г. Верёвки присвоено созданному им хору.