Баба учился в Кембриджском университете, который окончил в 1930. Научную работу начал под руководством Ральфа Фаулера. В 1940-1945 годах работал в Индийском институте наук в Бангалоре, с 1942 года — в должности профессора. В 1945 стал инициатором создания и первым руководителем Института фундаментальных исследований Тата в Бомбее. Баба стал председателем Комитета по атомной энергии Индии (с 1947) и директором Атомного центра Тромбей (с 1957), который он также основал.
Баба также являлся крупным общественным деятелем. Он был председателем на первой конференции по мирному использованию атомной энергии в Женеве в 1955. Кроме того он несколько лет (1960-1963) возглавлял Президиум Международного союза чистой и прикладной физики (IUPAP), а также являлся членом Научно-консультативного совета МАГАТЭ.
Погиб в горном массиве Монблана в результате катастрофы самолета, на котором направлялся на очередное заседание совета МАГАТЭ.
Баба создал ряд научных трудов в области физики космических лучей, теории мезонов и частиц с высшими спинами, ядерной физики. В своей работе 1935 года он впервые вычислил сечение электрон-позитронного рассеяния. Позднее электрон-позитронное рассеяние в рамках квантовой электродинамики получило название «Баба-рассеяние» в честь его вклада в эту область.
В 1937 году Баба совместно с Вальтером Гайтлером разработал каскадную теорию электронных ливней в космических лучах. Он первым обнаружил и показал, что движущийся мезон имеет большее время жизни, чем покоящийся мезон, что полностью согласовалось с выводами специальной теории относительности о «замедлении времени».
Баба является автором более 60 статей в научных журналах, среди которых: