Александр Инашвили родился 11 (23) августа 1887 года, (по другим источникам - в 1889 году) в Тифлисе, ныне - Тбилиси.
С детских лет Александр Инашвили пел в грузинском народном хоре.
В 1916 году окончил Тифлисское музыкальное училище по классу пения Е. К. Ряднова.
С 1917 года в Грузинском театре оперы и балета.
В 1923 году совершенствовался в Италии у Э. Джеральдони. В 1923—1925 гг. выступал в Италии и Испании.
В 1946 году вступил в КПСС.
Александр Инашвили один из основоположников грузинского оперного искусства. Он создал множество вокально-сценических образов в грузинских операх, а также в классических операх на русском языке. Кроме выступлений на оперной сцене Александр Иович выступал и на концертах.
Занимался педагогической деятельностью, преподавал в Тбилисской консерватории, профессор. Среди его учеников М. Амиранашвили, Н. Джапаридзе, Ш. Кикнадзе, П. Томадзе, И. Шушания.
Александр Иович Инашвили умер 4 июня 1958 года в Тбилиси.