Родился в семье рабочего. Еврей. Член ВКП(б) с 1932 года. Окончил 7 классов. Работал в г. Биробиджан на обозном заводе.
В Красной армии с мая 1941 года. Отличился при штурме Бреслау (Вроцлав). 24 апреля 1945 года под шквальным огнем его взвод атаковал врага. Одну огневую точку И. Р. Бумагин забросал гранатами, вторую закрыл своим телом, что обеспечило успех наступления. Звание Героя Советского Союза присвоено посмертно 27 июня 1945 года. Похоронен в городе Вроцлаве.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм, лейтенанту Бумагину Иосифу Романовичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Награжден орденом Ленина.
Его именем названы улицы на родине — в Витебске и в Биробиджане. В сквере у завода «Дальсельмаш» в Биробиджане установлен памятник Герою, на здании цеха завода — мемориальная доска.