Родился 1 (14) апреля 1909 года в городе Полоцке ныне Витебской области республики Белоруссия в семье железнодорожника. Русский. После семилетки окончил фабрично-заводское училище. Работал старшим ремонтным рабочим Полоцкой дистанции пути.
В Красной армии с 2 июля 1931 года. В 1933 году окончил с отличием 1-е Киевское артиллерийское училище, в котором остался служить командиром учебного взвода. Член ВКП(б) с 1932 года. В 1935 году был направлен на курсы усовершенствования командного состава (КУКС) в Ленинградское бронетанковое училище. После окончания КУКС командовал танковым взводом, затем ротой в составе 2-го танкового батальона 21-й механизированной бригады Белорусского военного округа. В 1940 году был назначен командиром 231-го танкового батальона 16-й лёгкой танковой бригады. С 29 марта 1941 года капитан И. Е. Алексеев — командир батальона тяжёлых танков 72-го танкового полка 36-й танковой дивизии 17-го механизированного корпуса. На этой должности встретил начало войны.
Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года:
Воевал на Западном, Северо-Западном и Воронежском фронтах.
Участвовал:
В январе 1943 года 106-я танковая бригада под командованием гвардии полковника Алексеева прорвала оборону врага в районе города Россошь Воронежской области, за ночь прошла по тылам противника 70 километров, освободила десятки населённых пунктов, в том числе железнодорожную станцию Россошь, захватила вражеский эшелон.
Полковник Иван Епифанович Алексеев погиб в бою 15 января 1943 года в районе железнодорожной станции города Россошь в Воронежской области.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 февраля 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий Командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство полковнику Алексееву Ивану Епифановичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».