Отец Ивана, портной по профессии, играл в придворном оркестре Петра III на ударных инструментах.
Благодаря содействию мецената Л. А. Нарышкина Хандошкин ездил в Италию, где занимался у известного Тартини. Достиг в игре такого совершенства, что мог соперничать с знаменитыми в то время скрипачами Виотти, Местрино и Дицом. Впоследствии о нём говорили, как о «русском Паганини», что, в чисто хронологическом смысле, несколько неверно, так как Хандошкин был предшественником знаменитого скрипача.
Вернувшись в Россию, пятнадцатилетний Иван стал придворным камерным музыкантом. В придворном оркестре он проработал до 1785 года, достигнув звания первого камер-музыканта и капельмейстера.
В 1765 году восемнадцатилетний музыкант начал преподавать игру на скрипке в воспитательных классах Академии художеств, открытых лишь за год до его поступления туда на работу.
Несколько лет Иван Евстафьевич состоял также на службе в дирекции императорских театров, от которой, по ходатайству Г. А. Потёмкина, уволен в 1785 году с назначением пенсии за выслугу и назначен преподавателем в Екатеринославскую музыкальную академию. В отсутствие директора академии, профессора Сарти, Иван Евстафьевич исполнял обязанности его заместителя.
В 1789 году Хандошкин вернулся в Санкт-Петербург, где прожил остаток своей жизни.
Хандошкин написал более 100 сочинений для скрипки (преимущественно вариаций на русские песни), приводивших в восторг высшее общество времён Екатерины II. Кроме того, написал три сонаты. Сочинения его издавались в XVIII веке И. Д. Герстенбергом и позднее Ф. Стелловским.
Был первым учителем по скрипке Академии художеств.
Помимо скрипки, свободно владел гитарой и балалайкой.
Композитор Михаил Гольдштейн посвятил скрипачу «Концерт Хандошкина для скрипки с оркестром».