Закончив в 1859 Московский университет, получил в 1864 степень доктора медицины за диссертацию «Молоко в гигиеническом и диететическом отношении» (М., 1864). С 1866 стал, в качестве приват-доцента, читать в том же университете общую патологию, а затем до самой смерти был профессором гигиены. Статьи Клименкова рассеяны в специальных изданиях.