Андрей Алексеевич Иванов родился 30 ноября (13 декабря) 1900 года в городе Замостье Люблинской губернии, (ныне Польша).
Андрей Иванов в 1921—1924 годах учился в Киевском кооперативном институте и в то же время учился пению в частной студии Н. Н. Лунда.
В 1925 году был приглашён в оперную студию Киевской консерватории. За год напряжённой работы сумел подготовить партии князя Игоря, Демона, Елецкого, Риголетто, Жермона. Дипломной работой стала партия Онегина.
В том же 1926 году певца одновременно приглашали Тбилисский и Бакинский оперные театры. Андрей Иванов работал в Бакинском, Одесском и Свердловском театрах оперы и балета. С 1934 года солист Украинского театра оперы и балета, а с 1950 по 1956 год солист Большого театра.
Андрей Иванов обладал красивым голосом мягкого бархатного тембра.
Андрей Алексеевич выступал и как концертный певец, исполняя украинские народные песни. Участвовал в зарубежных гастролях: Чехословакия, ГДР, Австрия, Великобритания, Венгрия.
Андрей Алексеевич Иванов умер 1 октября 1970 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.