Родился в еврейской семье адвоката Марка Куратовского и Розы Карчевской.В 1913 году поступил в Университет Глазго, однако из-за начавшейся Первой мировой войны вынужден был прервать обучение и продолжил его уже в Варшавском университете, который и окончил, защитив диссертацию в 1921 году. В 1927—1933 годах преподавал во Львовской Политехнике, затем вернулся в Варшавский университет и с 1934 до 1952 год возглавлял в нём отделение математики. С 1952 года член Польской академии наук, в 1957—1968 годах её вице-президент. С 1948 до 1967 года возглавлял Институт математики Польской академии наук.
Ведущей областью научных интересов Куратовского была топология.
Ряд ранних работ в этой области был написан им вместе с Кнастером (польск.).