Родился в деревне Лутра-Иреас в провинции Аркадия. Во время оккупации Греции его семья перебралась в Пелопоннес, а после войны в Афины. Во время войны отец Гавраса был членом левого крыла Национального фронта освобождения Греции, а после войны он был арестован по подозрению в симпатиях к коммунизму. Семья Гавраса была вынуждена покинуть Грецию. Коста-Гаврас закончил среднюю школу во Франции и в 1951 г. начал изучать право в Сорбонне, но в 1956 году бросает университет и уходит в кинематограф. Высшее кинематографическое образование получил в институте ИДЕК в Париже. Был ассистентом режиссеров Р. Клера, А. Вернея, Ж. Деми, Р. Клемана.
Президент Французской синематеки (с 2007).
В 1965 дебютировал как режиссёр экранизацией детектива Себастьяна Жапризо «Убийцы в спальных вагонах» с Ивом Монтаном в главной роли. Напряженная детективно-криминальная интрига присутствует в большинстве других фильмов Косты-Гавраса, основанных на документальных материалах и политически ангажированных. Но режиссёру важен не столько политический аспект событий, сколько гуманитарный пафос, интересен человек, сталкивающийся с проявлениями тоталитарной власти, как бы она ни называлась — режим «чёрных полковников», гитлеровский фашизм, сталинский социализм, латиноамериканская хунта. Гаврас показывает как история, политика, общество, институты власти, партии влияют на судьбу частного человека. Будучи гражданином мира и снимая кино в разных странах, Коста-Гаврас получил признание как космополитический в лучшем смысле слова, истинно гуманистический художник, которого волнует глобальная борьба добра со злом, а не одни лишь политические страсти.