Леонид Окунев родился 25 января 1949 года в Тюмени. После окончания Тюменского государственного института искусств и культуры работал в театрах Челябинска, Тюмени, Архангельска. В 1993 году вместе с Виктором Загоруйко основал молодёжный театр «Ангажемент» и до сих пор является его художественным руководителем, а с 2005 года — директором. Играет в спектаклях «Дорога к дому», «Вечера на хуторе близ Диканьки», «Очень простая история», «Комната смеха», «Носферату», «Птица Феникс» и др.
Первое появление Окунева в кино — короткометражный фильм «Завоеватель» Владимира Хотиненко (1980). В 2003 году Окунев снялся в фильме «Правда о щелпах» и был удостоен приза за лучшую мужскую роль на кинофестивале «Кинотавр» (вместе с партнёрами по фильму Камилем Тукаевым и Алексеем Шляминым).
Несмотря на занятость в кино и телесериалах, Окунев живёт в Тюмени, в деревянном доме. Он упоминается в романе Виктора Строгальщикова «Слой»: «В сигаретном дыму среди пьяных лиц странно было видеть бородатого непьющего актёра Лёню Окунева».