Родился в селе Синявино Хакасского уезда Енисейской губернии. Отец был репрессирован (ст. 58—2, 58—7, 58—8, 58—11 УК РСФСР) и расстрелян. Оставшись с сестрой и братом на попечении матери, терпел большую нужду. Ещё школьником (в 1940 г.) принял участие в археологических раскопках под руководством В. П. Левашовой, слушал популярные лекции С.В. Киселёва по древней истории Южной Сибири, несомненно, зародившие в нём живой интерес к археологии. В июне 1941 г. окончил среднюю школу № 1 в г. Абакане и поступил на историко-филологический факультет Томского университета.
В 1942 г. Леонид Романович стал курсантом танкового училища и после его окончания, получив специальность механика-водителя танка Т-34, в 1943 - 1945 гг. сражался на 4-м и 1-м Украинских фронтах Великой Отечественной войны. Дважды семья получала "похоронку", но Кызласов выжил после тяжелых ранений.
В 1945 - 1949 гг. Леонид Романович - студент кафедры археологии исторического факультета МГУ, защитивший с отличием дипломное сочинение "Алтай в V-X вв.".
В 1949- 1952 гг. - аспирант кафедры. В 1953 г. им была защищена кандидатская диссертация "Таштыкская эпоха (I в. до н.э. - V в. н.э.) в истории Хакасско-Минусинской котловины", ставшая основой для известной монографии. Во время обучения на кафедре с 1946 по 1949 гг. Леонид Романович постоянно участвовал в раскопках памятников различной хронологической и культурной принадлежности. Так, в 1949 г. он принял активное участие в изучении древнерусских гнёздовских курганов под Смоленском. В 1950 г. была создана Хакасско-Тувинская археологическая экспедиция МГУ, которую Леонид Романович Кызласов возглавлял вплоть до 1991 г. Экспедиция, исследовавшая в течение 40 лет стационарно или разведками разновременные памятники от культовых изваяний конца эпохи неолита до могил XV-XVII вв. на территории Тувы, Хакасии, Красноярского края, Казахстана, Киргизии, Прибайкалья и Приморья, постепенно стала основной базой для подготовки кафедрой специалистов по археологии Сибири. В течение четырех десятилетий этой экспедицией проводились широкомасштабные археологические исследования в Южной Сибири, в результате чего были получены значительные материалы по истории двух южносибирских народов: тувинского и хакасского. Естественным результатом работ Л. Р. Кызласова стала докторская диссертация "История Тувы в средние века", защищенная в 1966 г. Большой вклад в изучение духовной жизни народов Южной Сибири внесли открытые экспедицией под руководством Л. Р. Кызласова первобытные святилища, средневековые буддийские и манихейские храмы, несторианская церковь. Значительные работы были проведены в Киргизии и Казахстане.
Научно-организационная деятельность Л. Р. Кызласова проявилась в работе в качестве члена различных советов и редколлегий: Ученого совета Института археологии АН СССР (1968 - 1991), экспертной комиссии ВАК по историческим наукам (1969 - 1973), Научно-технического и Научно-методического советов Минвуза СССР и Министерства просвещения РСФСР (1979 - 1986), Комитета тюркологов при Отделении литературы и языка АН СССР/РАН (1988 - 1993), редколлегий журналов "Советская археология" (1979 - 1988) и "Татарская археология" (с 1997 г., Казань).
Результаты научных и полевых исследований Л. Р. Кызласова нашли отражение в многочисленных докладах и выступлениях. Он участвовал в работе V и VI Международных тюркологических конгрессов (Стамбул, 1985, 1988), Международного исторического конгресса в Москве (1964), Всесоюзных археологических (с 1951), региональных, исторических, тюркологических, писательских и других сессий, совещаний, чтений и конференций в различных городах СССР и России, в Москве и Санкт-Петербурге.
Список научных трудов Леонида Романовича насчитывает свыше 300 наименований, из них 15 монографий, 14 книг в соавторстве. Многие статьи хорошо известны за рубежом: они издавались в США, Германии, Франции, Италии, Польше, Турции, Индии, Японии. Международным признанием трудов Л. Р. Кызласова является избрание его Членом Финно-Угорского общества (Хельсинки, 1983) и членом-корреспондентом Германского Археологического института (Берлин, 1984). Надо отметить, что Леонид Романович является автором не только строгих научных трудов, его перу принадлежит поэтическое произведение по мотивам хакасского эпоса, несколько теплых статей, посвященных воспоминаниям об учителях: С.В. Киселеве и А. В. Арциховском.
В течение нескольких лет он читал общий курс археологии для студентов-первокурсников исторического факультета ("Основы археологии" и "Археология СССР"). История и археологические материалы Сибири стали источниками для специальных курсов лекций, которые собирали слушателей-студентов самых различных интересов: "Археология Казахстана и Киргизии (каменный век - раннее средневековье)", "Неолит и энеолит Сибири и Дальнего Востока", "Бронзовый век Сибири", "Ранний железный век Сибири", "Средневековая археология Сибири", "Письменные известия о древних городах Сибири" и др.
Многие годы руководил общеархеологическим семинаром "Археологическое источниковедение". Для лекций и курсов Леонида Романовича были характерны детальное исследование археологических материалов и проблем, возможно более полное рассмотрение обществ, оставивших изучаемые древности; анализ палеоклиматических, антропологических, остеологических данных, технологических особенностей вещей (от трасологических до металлографических наблюдений), освещение социально-демографических, лингвистических и этногенетических гипотез. Особое внимание он уделял выявлению и очерчиванию культурных связей, обращался к вопросам истории искусства.
Под руководством Леонида Романовича Кызласова почти за 60 лет курс МГУ закончили свыше 70 специалистов. Им подготовлены 40 кандидатов и 14 докторов наук, 8 из них стали профессорами.
Лауреат Государственной премии СССР (1985), Ломоносовской премии I степени (1982) и Государственной премии Республики Хакасия им. Н. Ф. Катанова (N 1, 1993), Заслуженный деятель науки Тувинской АССР (1991) и Заслуженный деятель науки Республики Хакасия (1994), Заслуженный профессор Московского государственного университета (2003).
Участник и инвалид Великой Отечественной войны, Л. Р. Кызласов награжден орденами Отечественной войны I и II степени, медалью "За Победу над Германией в Великой Отечественной войне", десятью медалями Советской армии, медалью "Ветеран труда" (1984) и двумя почетными знаками.