Родился 19 февраля 1841 г. в Полтавской губернии. Образование получил в Петровском Полтавском кадетском корпусе, 2-м Военном Константиновском училище, и Николаевской академии Генерального штаба; Из училища вышел в 1860 г. подпоручиком с назначением в 14-й Туркестанский стрелковый батальон. По выпуску из Академии в декабре 1866 г. был причислен к Генеральному Штабу. В 1867 г. Костенко был назначен помощником старшего адъютанта штаба Туркестанского военного округа. Здесь он деятельно собирал сведения о Туркестанском крае, которые и изложил впоследствии в целом ряде трудов. В январе 1868 г. Л. Ф. Костенко назначен членом Статистического комитета и вслед за тем на него была возложена работа собрания и приведения в систематический порядок экспонатов края для Всероссийской мануфактурной выставки в Санкт-Петербурге. 1 мая 1870 г. командировался с дипломатической целью в Бухарское ханство; ввиду обострения отношений наших к Хиве желательно было склонить эмира Музаффар-Хана на сторону России; но в то же время было у эмира афганское посольство, которое старалось склонить его на свою сторону; для поддержки этих домогательств афганцы выставили на бухарской границе 12000 войска. 23 мая прибыл Костенко в Бухару. После долгих переговоров он, наконец, достиг успешного результата и 18 июля выехал обратно. В 1873 г. Л. Ф. Костенко принимал участие в Хивинском походе и за отличие награждён орденом св. Станислава 2-й степени с мечами и чином подполковника с назначением старшим адъютантом штаба Туркестанского военного округа. Получив в 1874 г. заграничный отпуск Л. Ф. Костенко отправился в Африку для ознакомления с войсками, расположенными в Алжире и Тунисе. В 1876 г. Костенко было поручено составление военно-статистических описаний Туркестанского военного округа. В том же году он предпринял экспедицию в Алайские горы. Он был одним из первых путешественников, посетивших Памир и описавших эту малоизвестную страну. В 1878 г. он был назначен начальником штаба Семиреченской области и во время пребывания в ней совершил несколько раз путешествия по Тянь-Шаню, изучая и составляя описание этих горных систем. В декабре 1885 г. Л. Ф. Костенко был назначен в распоряжение командующего войсками Омского военного округа и спустя несколько месяцев в феврале 1886 г. был переведен в Санкт-Петербург на должность старшего делопроизводителя канцелярии Военно-ученого комитета Главного Штаба, в июне 1887 г. назначен заведующим Азиатской частью Главного Штаба, в августе того же года произведён в генерал-майоры. В 1890 г. Л. Ф. Костенко принимал деятельное участие в разработке нового положения об Аму-Дарьинской флотилии. Умер 28 сентября 1891 г. в Петербурге, похоронен на Смоленском православном кладбище.
Костенко состоял членом Русского географического общества, член-учредитель Среднеазиатского ученого общества. Ему принадлежит немало ценных военно-востоковедных и военно-исторических трудов. Наиболее важное значение имеют работы «Средняя Азия и водворение в ней русской гражданственности» и «Туркестанский край. Опыт военно-статистического обозрения туркестанского военного округа». Поездка в 1870 г. в Бухару описана Костенко в нескольких статьях в «Военном Сборнике». Кроме того Костенко печатал свои работы в «Туркестанских Ведомостях», «Всемирной Иллюстрации», «Одесском вестнике», «Голосе», «Русском инвалиде».