В 1913 году окончил Санкт-Петербургский университет.
В 1913—1914 годах по поручению Отдела русского языка и словесности Академии Наук осуществил экспедицию по Восточной Сибири и Амуру. Летом 1915 года был командирован в Верхнеленский край Этнографическим Отделом Русского Географического Общества и Отделением Русского Языка и Словесности при Академии Наук для собирания материалов по этнографии и устному творчеству.
В начале мая 1918 года выехал из Петрограда на Алтай. Пробыл в Сибири три года. В 1918—1921 годах был профессором Томского университета. В это время в Петрограде погибла значительная часть материалов, собранных Азадовским во время экспедиции на Лену.
В 1919 году в журнале «Сибирские Записки» появилась его статья «Задачи Сибирской библиографии». Первый выпуск «Трудов О-ва этнографии, истории и археологии при Томском университете» (1920) опубликовал «Обзор библиографии Сибири» Азадовского, в котором отражено 133 разных библиографических источника, касающихся Сибири. С 1923 года печатался в журнале «Сибирские огни».
В 1921—1923 годах работает в Чите профессорором ГИНО (Государственный институт народного образования).
В 1923—1930 годах — профессор, заведующий кафедрой истории русской литературы Иркутского университета. Преподавал также в Томском и Ленинградском университетах. В 1924—1925 годах был редактором журнала «Сибирская живая старина», литературного отдела «Сибирской советской энциклопедии», сотрудничал в сибирских литературных альманахах. Был членом Восточно-Сибирского отделения РГО.
Летом 1925 года выехал в экспедицию в Тункинский край. В 1920-е издал ряд трудов по библиографии и по истории литературы Сибири.
С 1930 года жил в Ленинграде. В 1930—1933 годах был профессором Инситута речевой культуры. В 1942—1945 годах профессор Иркутского государственного университета. В эвакуации в Иркутске создал Общество истории литературы, языка и этнографии. В 1931—1942, 1945—1949 руководитель фольклорных отделений Государственного инситута по истории искусств, Института по изучению народов СССР, Института русской литературы (Пушкинский дом).
В начале 1950-х годов подвергся репрессиям по обвинению в космополитизме.
Член Союза советских писателей. Отец литературоведа К. М. Азадовского.
Исследовал фольклор и этнографию русского старожилого населения Сибири. Центральное место в научных работах Азадовского занимали вопросы устного творчества. Итог его многолетней работы — капитальный труд «История русской фольклористики» (т. 1—2, 1958—1963).