Бьюкен в школьном возрасте перешёл в шотландский «Абердине», а в 17 лет подписал профессиональный контракт с клубом. Он быстро прогрессировал, и уже к 20 годам получил капитанскую повязку. В 1970 году «красные» выиграли Кубок Шотландии, а 21-летний Бьюкен стал самым молодым капитаном, выигравшим Кубок Шотландии за всю историю турнира.
К молодому защитнику начали проявлять интерес английские клубы. К концу сезона 1971/72 «Ливерпуль», «Лидс Юнайтед» и «Манчестер Юнайтед» сделали предложения о покупке талантливого шотландца. 29 февраля 1972 года главный тренер «Манчестер Юнайтед» Фрэнк О’Фаррел подписал Бьюкена за 125 000 фунтов, побив трансферный рекорд клуба. Начало карьеры Мартина в «Юнайтед» оказалось непростым: команда выступала нестабильно и к концу сезона 1973/74 команда вылетела во Второй Дивизион.
Позднее Бьюкен заявил: «Я не был счастлив по поводу вылета, но я решил остаться с командой и помочь ей вернуться в Первый Дивизион». Год спустя ему удалось реализовать это желание: «красные» без особых проблем выиграли Второй Дивизион. В 1977 году «Юнайтед» на «Уэмбли» выиграл в финале Кубка Англии у «Ливерпуля» со счётом 2:1, а Бьюкен стал первым футбольным капитаном, выигравшим и Кубок Англии (в 1977 году) и Кубок Шотландии (в 1970 году).
Бьюкен отличался отличным выбором позиции, что в сочетании с его скоростными качествами и хладнокровием сделало его одним из лучших защитников своего времени. За 11-летнюю карьеру на «Олд Траффорд» он сыграл в 458 матчах и забил 4 гола, один из которых — потрясающим дальним ударом в ворота «Эвертона».
После ухода из «Юнайтед» Бьюкен один сезон выступал за «Олдем Атлетик», после чего короткое время тренировал «Бернли».
Бьюкен дебютировал за сборную Шотландии в 1971 году в матче против сборной Португалии. Он участвовал в чемпионате мира 1974 года и в следующем чемпионате мира 1978 года. Дважды он выводил сборную с капитанской повязкой: в 1975 году против Румынии и в 1977 году против Аргентины. Последний матч за национальную сборную Мартин провёл в 1978 году. Всего же он сыграл за сборную 34 раза.
В семье Бьюкенов было много профессиональных футболистов. Сын Мартина, Джейми Бьюкен, в настоящее время выступает за клуб Второго дивизиона Шотландской футбольной лиги «Питерхед», а отец Мартина, Мартин-старший, и его брат, Джордж, играли за «Абердин».