Отец — князь Дашков Иван Андреевич, мать — Леонтьева Анастасия Михайловна, племянница царицы Натальи Кирилловны Нарышкиной.
В младенчестве пожалован сержантом гвардии, служил в Преображенском, затем в лейб-кирасирском полку. Единственный представитель древнего княжеского рода и наследник большого состояния, «мягкий по характеру, веселый щеголь», Дашков пользовался успехом при дворе и в обществе.
В 1759 году женился на графине Екатерине Романовне Воронцовой. В правленние Петра III был послом в Константинополе. Участвовал в подготовке дворцового переворота Екатерины II в 1762. В день коронации Екатерины II пожалован в камер-юнкеры, в том же году назначен членом Комиссии о строении Санкт-Петербурга. Затем был послом в Константинополе. В 1763 в чине вице-полковника лейб-кирасирского полка с особым отрядом был послан в Польшу для содействия избранию королем Станислава Понятовского и 17 августа 1764 года умер там в местечке Пулавах от ангины. Князь Дашков был похоронен 11 января 1765 года в соборе Новоспасского монастыря, в Москве.
От брака с Е. Р. Дашковой имел дочь и двух сыновей :