Сын архитектора Н. И. Чичагова, брат Д. Н. Чичагова. Получил образование в Московском дворцовом архитектурном училище. После непродолжительной службы в государственных учреждениях отправился на длительную стажировку в Европу. Работал на перестройке и ремонте построек Московского кремля, преподавал в МУЖВЗ.
Карьера М. Н. Чичагова, как именно театрального архитектора, пошла в гору после того, как в 1882 году было дозволено строительство частных театров (Чичагов сотрудничал с полулегальным театром А. А. Бренко и ранее, и был своим человеком в театральной среде). Наиболее известным чичаговским театром был московский «Пушкинский» театр театр Корша, 1885 (ранее, Чичагов перестроил для труппы Корша Лианозовский театр, будущее здание МХАТ в Камергерском переулке).
Как и все мужчины в роду Чичаговых, Михаил Николаевич умер преждевременно, в 1889 году — от инсульта. Похоронен на Ваганьковском кладбище.