Клюев родился в Липецке в семье купца Алексея Герасимовича Клюева. За свою жизнь много занимался благотворительностью, а в 55 лет — 13 января 1903 года — был избран головой Липецка. 19 ноября 1912 года стал «почетным гражданином града Липецка».
Известен такой случай. В 1877 году открылся детский приют на 5 человек; к 1913 году его численность выросла до 70 человек, однако средства на содержание остались прежними. Приют бедствовал. В 1913 году Клюев взял шефство над ним и ассигновал 150 рублей. На следующий год приют становится Липецкой женской гимназией (располагалась на Старобазарной площади; до наших дней здание не сохранилось — снесено).
Кроме того, М. А. Клюев содействовал строительству напорного водопровода, гидроэлектростанции на реке Липовке, городской телефонной станции, большому торговому корпусу. При нем открылись первая поликлиника, первый кинотеатр, реальное училище, музей, городская библиотека, городское попечительство о бедных. Он был инициатором строительства Никольского храма .
После октября 1917 года сложил с себя полномочия городского головы и остался жить в Липецке. Скончался 11 ноября 1924 года. Погребен на Преображенском кладбище в г. Липецке.
15 июля 2006 года на Советской улице у Драматического театра установили памятник Клюеву. Авторы — скульптор В. Л. Челядин и архитектор С. А. Сошников.