Родился в семье русских эмигрантов в Харбине. Дед, работавший бухгалтером на КВЖД, был знаком с Фёдором Шаляпиным. Другом отца был Александр Вертинский.
В пятилетнем возрасте родители вернулсь в СССР (в Свердловск). Учился на философском факультете Уральского университета в одно время с Геннадием Бурбулисом. Впоследствии закончил Московскую консерваторию.
После окончания консерватории работал в Московской филармонии
С женой-мексиканкой познакомился в Московской консерватории, однако условием брака была эмиграция на родину жены. Эмигрировал в Мексику в 1983 году. После нескольких лет в Мексике Сторожев переезжает в Дюссельдорф (ФРГ), где у него был трёхлетний контракт. Затем переехал в Париж, где получил французское гражданство.
В 2000-х годах — доцент по вокалу и оперному искусству (англ. Associate Professor of Voice and Opera) Техасского университета в Остине ().
Продолжает концертную деятельность и даёт мастер-классы.
Выступал совместно с Пласидо Доминго, Лучано Паваротти, Руджеро Раймонди, Катей Риччиарелли () и Николаем Гяуровым. Среди дирижёров, с которыми работал Никита Сторожев — Мстислав Ростропович, Владимир Ашкенази, сэр Джон Причард (), Клаудио Аббадо, Неэме Ярви, Джон Нельсон () и Геннадий Рождественский.