Райан Веске начал свою карьеру в 2000 году. В 2004 году он подписал контракт с клубом второго шведского дивизиона «Рёгле». Следующие два сезона Райан провёл в АХЛ, а в 2007 году перешёл в клуб финской СМ-Лиги «ХИФК». В 2008 году Веске вернулся за океан, став капитаном клуба АХЛ «Вустер Шаркс». 11 февраля 2009 года Райан дебютировал в НХЛ в составе «Сан-Хосе Шаркс». 17 октября того же года Веске забросил свою первую шайбу в НХЛ в ворота голкипера «Нью-Йорк Айлендерс» Мартина Бирона.
28 июня 2010 года Райан стал игроком нижегородского «Торпедо». В своём первом же сезоне в КХЛ Веске набрал 48 (25+23) очков в 51 матче, став, таким образом, лучшим снайпером команды. Кроме того, вместе со своими партнёрами по тройке нападения Мэттом Эллисоном и Шарлем Лингле Райан стал обладателем приза «Лучшая тройка» как самому результативному сочетанию форвардов регулярного чемпионата.
19 апреля 2011 года Веске продлил своё соглашение с нижегородцами ещё на один сезон, однако, проведя лишь 15 матчей, в которых он набрал 9 (4+5) очков, Райан получил травму спины, из-за которой выбыл до конца сезона.