Родился 4 октября 1841 года в купеческой семье Ивана Фёдоровича Мамонтова и Марии Тихоновны (Лахтиной), был четвёртым ребёнком. В 1849 году И. Ф. Мамонтов переехал в Москву. Семья Мамонтовых жила богато: арендовала роскошный особняк, устраивала приёмы, балы. Образ жизни Мамонтовых был не типичен для капиталистов тех времён, связей и знакомств в Москве у И. Ф. Мамонтова не было.
В 1852 году умерла мать Саввы Мамонтова — Мария Тихоновна. Семья Мамонтовых переехала в более простой (но и более обширный) дом. Савва вместе со своим братом был отдан в гимназию и проучился там год без особых успехов. В августе 1854 года Савва вместе с двоюродными братьями были зачислены в Институт Корпуса горных инженеров, учащиеся которого получали как инженерные, так и военные знания. Савва демонстрировал хорошее поведение, однако имел черту увлекаться интересными ему предметами, игнорируя другие: так, быстро выучив немецкий язык и имея по нему отличные баллы, он получал двойки и тройки по латыни. Успехами в образовании он не отличался, чем вызывал беспокойство своего отца.
Из-за эпидемии скарлатины И. Ф. Мамонтов забрал сына в Москву, и Савва вернулся во Вторую гимназию, где учился ранее. Семья переехала в новый дом и приобрела имение Киреево (Химки). В 1856 году некоторые из получивших амнистию декабристов остановились в доме Мамонтовых.
Начиная с 1858 года Савва регулярно посещал театр и высказывал своё мнение о постановках в дневнике. Семья Саввы устраивала вечера, где проводились обсуждения спектаклей и книг, пение, музицирование.
В 1860 году Савва не выдержал экзамена по латыни и был зачислен на повторное обучение, что тяжело переживалось и им, и его отцом. Латынь за Савву сдал другой юноша, а сам Савва поступил в Петербургский университет, переведясь затем на юридический факультет Московского университета.
И. Ф. Мамонтов занялся строительством железных дорог. Летом 1863 года была запущена Московско-Троицкая железная дорога. Иван Фёдорович был избран членом правления этой дороги. Савва же всё больше увлекался театром, вошёл в театральный кружок. Отец Саввы с тревогой относился к праздным увлечениям сына. Сам Савва всё хуже учился в университете.
Видя это, Иван Фёдорович Мамонтов решил отправить Савву по делам Закаспийского товарищества (он был его сооснователем) в Баку. Осенью 1863 года Савва Мамонтов стал руководить центральным Московским отделением товарищества.
В 1864 году Савва посетил Италию, где начал брать уроки пения. Там же он познакомился с дочерью московского купца Григория Григорьевича Сапожникова — Елизаветой, впоследствии ставшей его женой (свадьба в 1865 году в Киреево). Семья Сапожниковых занимала высокое положение в обществе, и согласие на брак было подтверждением прочности позиций Мамонтовых. Елизавете было около 17 лет, она не отличалась особой красотой, но любила читать, пела, много занималась музыкой. Молодая семья поселилась в доме на Садовой-Спасской улице, купленном отцом Саввы Мамонтова. Этот особняк неоднократно перестраивался.
И. Ф. Мамонтов был крупным акционером и директором общества Московско-Ярославской железной дороги, возглавляемого Ф. В. Чижовым (1811—1877). Ранее Чижов был профессором математики Петербургского университета. Он был знаком со многими писателями и художниками и сыграл в жизни Саввы большую роль.
В 1869 году умер Иван Фёдорович Мамонтов. Чижов втягивал Савву в самостоятельную предпринимательскую деятельность, и в 1872 году по его рекомендации Савва занял пост директора общества Московско-Ярославской железной дороги. Савва Мамонтов избирается гласным Городской думы и действительным членом Общества любителей коммерческих знаний, становится признанным членом московского купечества.
Савва и его жена Елизавета Григорьевна решили приобрести свой дом за городом (Киреево было унаследовано старшим братом). Узнав, что продаётся усадьба писателя С. Т. Аксакова, супруги осмотрели дом в Абрамцево (1870). Несмотря на его плохое состояние, из-за живописной местности вокруг и архитектуры дома Мамонтовы приобрели усадьбу (за 15 тысяч рублей, на имя жены). Мамонтовы неоднократно перестраивали дом и благоустраивали усадьбу.
Мамонтову всё ещё была тяжела предпринимательская деятельность, особенно после очередного посещения Италии. Однако после избрания директором железной дороги бросить дело он уже не мог — увлёкся.
В 1876 году государство назначило конкурс на проведение Донецкой каменноугольной железной дороги. Соискатели обязаны были предоставить проект и смету. Савва Мамонтов выиграл торги. В 1882 году строительство Донецкой каменноугольной железной дороги полностью завершилось, после чего она была выкуплена государством.
В начале 1890-х годов правление Московско-Ярославской железной дороги приняло решение продлить дорогу до Архангельска, что соответствовало увеличению протяжённости дороги почти в два раза. Савва Мамонтов считал данную дорогу необходимой стране и строил её практически без финансовой заинтересованности.
Мамонтов был чужд государственных наград, однако министр финансов С. Ю. Витте добивался для него и престижных званий и даже ордена Владимира 4-ой степени.
Савва Мамонтов активно поддерживал различные виды творческой деятельности, заводил новые знакомства с художниками, помогал организациям культуры, устраивались домашние спектакли, даже организовал на сцене театра Солодовникова частную оперную труппу (1885; частные труппы были разрешены с 1882). В 1870—1890 годах имение Абрамцево стало центром художественной жизни России. Здесь подолгу жили и работали русские художники (И. Е. Репин, М. М. Антокольский, В. М. Васнецов, В. А. Серов, М. А. Врубель, М. В. Нестеров, В. Д. Поленов и Е. Д. Поленова, К. А. Коровин) и музыканты (Ф. И. Шаляпин и другие). Многим художникам Мамонтов оказывал существенную поддержку, в том числе и финансовую, но не занимался коллекционерской деятельностью.
Культурная деятельность Мамонтова была многим неприятна, даже родственникам, уж не говоря о директорах железной дороги, инженерах. Однако Мамонтов вкладывал в театр огромные деньги, его не останавливали неудачи.
В 1890-х годах Савва решает создать объединение промышленных и транспортных предприятий. Были куплены и арендованы несколько заводов, однако они нуждались в модернизации и требовали огромных капиталовложений. Уследить за их использованием было очень трудно, и часть средств просто разворовывалась.
Средств становилось всё меньше. В августе 1898 года Мамонтов продал 1650 акций Московско-Ярославско-Архангельской железной дороги Международному банку и получил специальную ссуду под залог акций и векселей, принадлежащих ему и его родственникам. Это был очень рискованный шаг, который закончился полным крахом Саввы Мамонтова. Савва переводил деньги для объединения и реконструкции заводов со счетов других предприятий, что было уже нарушением закона.
Мамонтов надеялся покрыть расходы путём получения государственной концессии на постройку магистрали Петербург-Вятка, у него были и другие планы прокладки дорог, поддерживаемые С. Ю. Витте. В июне 1899 года Савва не смог расплатиться с Международным банком и другими кредиторами. Министерство финансов назначило ревизию. По некоторым источникам, ревизия была плодом интриг директора Международного банка А. Ю. Ротштейна и министра юстиции Н. В. Муравьёва. В любом случае государство было заинтересовано в получении дороги.
Прокурор Московского окружного суда А. А. Лопухин писал: «То самое министерство финансов, которое в лице его главы, С. Ю. Витте, только что выступило в качестве инициатора в вопросе о предоставлении названному обществу выгодной концессии (на строительство дороги Петербург—Вятка — примечание), выступило в лице того же С. Ю. Витте с требованием об отобрании у него этой самой концессии и о принятии мер, которые были сознательно направлены к финансовой гибели и железнодорожного общества, и крупных его акционеров». Несомненно, С. Ю. Витте, до некоторого момента находившийся в дружеских отношениях с Мамонтовым, резко поменял свою позицию.
Савва ещё мог распродать имущество и погасить задолженности, но дело было доведено до суда: сам Мамонтов был арестован и посажен в Таганскую тюрьму, его имущество описано. В газетах циркулировали слухи об огромных хищениях средств. Несмотря на все усилия друзей Мамонтова и положительное мнение рабочих, Савва несколько месяцев просидел в тюрьме. Обстоятельства дела позволяют сказать, что освобождению Саввы Мамонтова сознательно препятствовали. Муравьёв целенаправленно искал сведения о злоупотреблениях Мамонтова, но найти ничего не смог.
В тюрьме Савва лепил скульптуры охранников и по памяти. Известный адвокат Ф. Н. Плевако защищал в суде Савву Мамонтова, свидетели говорили о нём только хорошее, а следствие установило, что Савва не присваивал денег. Присяжными Мамонтов был оправдан, зал суда был наполнен незатихающими аплодисментами.
Имущество Саввы Мамонтова было распродано почти полностью, многие ценные произведения ушли в частные руки. Железная дорога ушла в государственную собственность по стоимости, значительно ниже рыночной, часть акций досталась другим предпринимателям, в том числе и родственникам Витте.
Все долги были погашены. Однако Мамонтов потерял деньги и репутацию и был уже не способен заниматься предпринимательской деятельностью. До конца жизни Савва сохранил любовь к искусству и любовь старых друзей — творцов.
Савва Иванович Мамонтов скончался 6 апреля 1918 года и был похоронен в Абрамцеве. На фоне событий, потрясавших страну, его смерть оказалась почти незамеченной.