Родился 9 апреля 1925 года в селе Ново-Ивановка, Стерлитамакского района, Башкирии в крестьянской семье. Русский.
Окончил 8 классов. Работал в колхозе «Маяк» Стерлитамакского района.
Призван в ряды Красной Армии в 1943 году Стерлитамакским райвоенкоматом Башкирской АССР. В действующей армии с февраля 1943 года.
Стрелок мотострелкового батальона красноармеец Алексей Трошин в ночь на 22 сентября 1943 года в числе первых переправился через реку Днепр в районе села Зарубинцы Каневского района Черкасской области Украины, участвовал в боях за плацдарм, при отражении контратак противника уничтожил много гитлеровцев.
Вскоре, после освобождения города Киева, А. В. Трошин был ранен и лежал в госпитале. Потом стал курсантом Саратовского танкового училища, которое окончил в 1945 году. При штурме столицы гитлеровской Германии города Берлина командовал взводом.
После войны продолжал службу в Вооружённых Силах СССР. Член КПСС с 1952 года. В 1947 году окончил Высшую офицерскую техническую бронетанковую школу, в 1954 году — Курсы усовершенствования офицерского состава, в 1968 году — Военно-политическую академию имени В. И. Ленина. В 1970 году служил в 117-ом танковом полку 1-й танковой дивизии 11-ой гвардейской армии (общевойсковой) в должности заместителя командира полка по политической части.
С 1976 года полковник А. В. Трошин — в запасе, а затем в отставке. Работал начальником штаба гражданской обороны Кировского района города Тбилиси. Затем жил в городе Воронеж, с 1995 года проживал в городе Поворино, Воронежской области, а потом в городе Киеве — у дочери.
Скончался 3 апреля 2008 года после тяжёлой продолжительной болезни. Похоронен с воинскими почестями в Киеве на Городском кладбище «Берковцы».