По указанию императора Павла I ездил в Тифлис лечить царя Грузии (1800).
Удену принадлежат первая попытка издавать русское медицинское периодическое издание. В 1792 году он просил разрешение медицинской коллегии издавать еженедельный журнал под заглавием: «Беседующие врачи, или общеполезная врачебная переписка». Он даже представил коллегии первый лист журнала, составленный им самим, но напечатать этот лист ему не разрешили, так как «по рассмотрении коллегией, примечено некоторое в оном отношение до веры и церковных обрядов».
Но Удена отказ не остановил. Заручившись поддержкой влиятельнейшего временщика графа Платона Зубова, он получил разрешение на издание журнала. Первый номер первого российского медицинского журнала «Санкт-Петербургские врачебные ведомости» появился 2 ноября 1792 года, последний, 52–й, в июле 1794 года. Журнал выпускался в издательстве петербургского книгопродавца И. Д. Герстенберга. Редакторами были Уден и Клейнеш. Первоначально у него было 208 подписчиков. Подписка принималась на полгода и стоила 2 рубля 50 копеек в Петербурге и 5 рублей в других местах.
«Академические чтения о хронических болезнях» (1816—1822) Удена — первое сочинение на русском языке по частной патологии и терапии. Предназначено для студентов–медиков и врачей. В нём, среди других вопросов, подробно описана перкуссия и впервые изложены клинические симптомы язвы желудка и её осложнений, а также методы её лечения. В этом сочинении Уден так описывал состояние больного с перфорированной язвой желудка:
Синдром Удена — патологическое состояние сердца и органов кровообращения, причиной которого являются заболевания верхних отделов желудочно-кишечного тракта, чаще всего гастроэзофагеальная рефлюксная болезнь, язва желудка или двенадцатиперстной кишки. Проявляется в ощущении тяжести в области сердца с отдачей в левое плечо, часто в приступах стенокардии, тахикардии, экстрасистолия, пароксизмальной одышке, гипотонии, метеоризме. Боли в области живота соответствуют основному заболеванию.