Воспитанник пензенского хоккея. Первый игрок хоккейной сборной СССР и олимпийский чемпион по хоккею из Пензы.
Заслуженный мастер спорта СССР (1968), заслуженный тренер СССР (1982), нападающий.
С 1957 по 1960 год выступал за пензенский «Труд». С 1960 по 1962 — за новокузнецкий «Металлург». В 1962 году стал игроком основного состава московского ЦСКА.
Чемпион СССР 1963—1966, 1968, 1970—1972, второй призёр 1967, 1969 годов в составе ЦСКА. В чемпионатах СССР провёл 400 матчей, забил около 200 голов. Обладатель Кубка СССР 1966—1969 года.
Чемпион мира и Европы 1968 года. Чемпион Зимних Олимпийских игр 1968 года. На чемпионатах мира и Зимних Олимпийских играх провёл 7 матчей, забил 2 гола.
По окончании карьеры игрока стал тренером. Начинал в хоккейной школе ЦСКА, затем в куйбышевском СКА, потом (в 1976—1984 годах) в основной команде московского армейского клуба, где Моисеев считался ассистентом сначала Локтева а потом Тихонова. В 1984 году начал самостоятельную тренерскую карьеру — в московском «Динамо». За время работы в этом клубе четырежды приводил свою команду на пьедестал: трижды на вторую ступень, один раз — на третью. Из «Динамо» ушёл в 1989 году.
В 1994—1995 годах — главный тренер ЦСК ВВС Самара. В 1995—1999 и 2001 годах — главный тренер казанского «Ак Барса». С «Ак Барсом» Моисеев в 1998 году завоевал звание чемпиона России.
Награждён орденом «Знак Почета» (1979) и медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (1996).
2 сентября 2006 года в Пензе около спортивного комплекса «Рубин» был открыт памятник Юрию Моисееву (скульптор — Александр Хачатурян, архитектор — Дмитрий Димаков).