Родился 6 ноября 1924 года в посёлке Сасово, ныне город в Рязанской области, в семье служащего. Русский. Член ВКП(б)/КПСС с 1949 года. Образование среднее.
В Красной Армии с августа 1942 года. В 1943 году окончил курсы младших лейтенантов. С сентября 1943 года в действующей армии.
16 февраля 1945 года в бою в районе населённого пункта Репплин, расположенного северо-западнее Хощно (ныне Польша) командир взвода управления батареи 148-го гвардейского артиллерийско-миномётного полка (16-я гвардейская кавалерийская дивизия, 7-й гвардейский кавалерийский корпус, 1-й Белорусский фронт) комсомолец гвардии старший лейтенант Юрий Азовкин участвовал в отражении пяти контратак. Попав в окружение, организовал круговую оборону огневой позиции. Прицельным огнём батареи было уничтожено шесть танков, штурмовое орудие и много гитлеровцев.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 мая 1945 года за образцовое выполнение боевого задания командования в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм гвардии старшему лейтенанту Азовкину Юрию Петровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 8721).
Из наградного листа Азовкина:
В 1948 году отважный офицер окончил курсы усовершенствования офицерского состава, в 1965 году — Центральные артиллерийские офицерские курсы. Полковник в отставке Азовкин Ю. П. жил в городе Рязани. Умер 11 мая 1993 года.