Юрий Добрышкин начал свою профессиональную карьеру в 1996 году в составе московского клуба «Крылья Советов», где за три сезона он набрал 20 (15+5) очков в 79 проведённых матчах. В 1999 году на драфте НХЛ он был выбран в 6 раунде под общим 159 номером клубом «Атланта Трэшерз». В том же году Юрий подписал контракт с казанским «Ак Барсом», в составе которого стал двукратным серебряным призёром чемпионата России, за три сезона проведя на площадке 141 матч, и набрав 59 (33+26) очков. С 2002 по 2004 год Добрышкин выступал в составе череповецкой «Северстали», с которой вновь завоевал серебро российского первенства, став также лучшим снайпером турнира.
В 2004 году Юрий перешёл в магнитогорский «Металлург», с которым два года спустя завоевал бронзовые награды турнира, а в 2006 году он подписал контракт с московским ЦСКА, где в 62 матчах набрал 18 (10+8) очков. Перед началом сезона 2007/08 Юрий перешёл в стан нижегородского «Торпедо», а в середине следующего сезона стал игроком мытищинского «Атланта». В 2009 году Добрышкин заключил соглашение с клубом из подмосковной Балашихи ХК МВД, в составе которого стал финалистом Кубка Гагарина.
Сезон 2010/11 Юрий начал в составе московского «Динамо», однако по причине травм сыграл лишь 18 матчей, в которых набрал 4 (2+2) очка, и 3 мая 2011 года руководство москвичей приняло решение не продлевать с ним контракт.
5 мая Добрышкин заключил однолетнее соглашение с новокузнецким «Металлургом», однако уже 7 сентября руководство клуба приняло решение расторгнуть контракт с игроком. 10 ноября Юрий подписал контракт до конца сезона с родным пензенским «Дизелем».
В составе сборной России Юрий Добрышкин принимал участие в юниорском чемпионате Европы 1997 года, а также молодёжном чемпионате мира 1999 года, на котором он вместе с командой завоевал золотые награды, набрав 7 (5+2) очков в 7 матчах. Также с 1999 по 2003 год Юрий регулярно призывался под знамёна сборной для участия в матчах Еврохоккейтура, где в 21 матче он набрал 6 (2+4) очков.
1 — Переходный турнир.