Василий Звонцов родился в деревне Вахонькино Череповецкого уезда Новгородской губернии (ныне Кадуйский район Вологодской области) в семье сельского учителя Михаила Логиновича Звонцова.
Систематические занятия Василия Звонцова рисованием начинаются в Череповце под руководством А. А. Алексеевой, в прошлом выпускницы ВХУТЕИНа. В 1935 году он поступает в Ленинградское художественное училище. Особое влияние на будущего художника оказал, преподававший в училище, рисовальщик и офортист Александр Громов. «Именно Громов первым рассказал нам об офорте… С тех пор я задумал непременно стать офортистом» — вспоминал Звонцов. В 1939 году он поступил на факультет живописи в ленинградский Институт живописи, скульптуры и архитектуры имени И. Е. Репина, но вскоре был призван в действующую армию. Прошел всю войну (закончил ее в звании подполковника, кавалером пяти боевых орденов). В 1946 году демобилизовался и восстановился в институте на первом курсе, вскоре перейдя на факультет графики (1948). Его учителями были такие мастера, как: К. И. Рудаков, А. Ф. Пахомов, Л. Ф. Овсянников и Г. Д. Епифанов. Закончив Института им. И. Е. Репина в 1952 году, В. И. Звонцов остался преподавать на факультете графики (1953—1971).
Работал в области эстампа и станковой графики (карандаш, уголь, китайская тушь). Особое внимание уделял технической стороне своих произведений. Владея всеми известными приемами офорта. Много сделал в этой технике. Любил игловой офорт и гравирование сухой иглой. Из всех жанров предпочитал пейзаж. Известна серия его офортов, посвященных Пушкинскому заповеднику в Михайловском. По словам художника, «настоящий пейзаж вызывает чувства куда более тонкие, представления более значительные и развивает в людях способность замечать и ценить прекрасное».
Как пишсал поэт и друг художника Михаил Дудин: «В его листах, посвященных Пушкинскому заповеднику звучит вечная музыка этих волнистых просторов земли, этих березовых и сосновых перелесков, разбегающихся во все концы лета, заглядывающих на бегу в тишайшие зеркала озер, как в глаза бессмертной любви и страсти».
Участник Великой Отечественной войны. Заслуженный художник РСФСР (1978). Народный художник РСФСР (1983).
Василий Звонцов автор ряда книг и нескольких статей об офорте и о выдающихся современных графиках.