Василий Завьялов учился в художественной школе при типографии Сытина, в школе гравёров на фабрике «Гознак», где и работал в течение многих лет. Его первые марки с изображением деревянного Мавзолея Ленина (ЦФА (ИТЦ «Марка») #212—215) увидели свет в 1925 году в рамках выпуска «Первая годовщина со дня смерти В. И. Ленина».
В 1950-е годы в ДК имени Горбунова (Москва) состоялась выставка В. В. Завьялова, где экспонировались оригиналы созданных им почтовых марок в восьми тематических разделах: революционеры, политика, литература, искусство, история, спорт, народное хозяйство, памятные даты.
В 1958 году Василий Завьялов был представлен к званию «Заслуженный художник РСФСР», однако из-за ошибки в марке «Совещание министров связи социалистических стран в Москве» (цвета флага Чехословакии оказались перевёрнутыми), звание Завьялову присвоено не было. Заслуженным художником РСФСР Василий Васильевич стал только десять лет спустя.
Жена — Прасковья Васильевна. Сыновья Лев (23 января 1932 — ?) и Александр (1946 — 24 мая 2001) тоже стали художниками, авторами почтовых марок.
В почтовых миниатюрах Завьялова заметны его твердая рука, острый глаз и верность природе. Важность этих качеств для творческого успеха художника отмечена самим В. В. Завьяловым. Является автором первого советского почтового блока в ознаменование Всесоюзной Пушкинской выставки в Москве (ЦФА (ИТЦ) #542; Скотт #596).
Фрагменты марок: полярные лётчики А. Ляпидевский и С. Леваневский (1935, 5 и 10 копеек) (ЦФА (ИТЦ) #488, 489; Скотт #С60, С61)
Почтовый блок «Всесоюзная Пушкинская выставка в Москве» (1937, 10+50 копеек, вместе с гравёром А. Троицким) (ЦФА (ИТЦ) #542; Скотт #596)
Марка «Авиапочта. Советская воздушная экспедиция по высадке научной дрейфующей станции „Северный полюс-1“ (1937)» (1938, 40 копеек) (ЦФА (ИТЦ) #585; Скотт #627)
Марка «Почетный знак Лауреата Сталинской премии» (1946, 30 копеек) (ЦФА (ИТЦ) #1100; Скотт #1100)
Марка «100 лет со дня рождения академика А. П. Карпинского (1847—1936)» (1947, 50 копеек) (ЦФА (ИТЦ) #1104; Скотт #1088)
Марка «Четырехосный цельнометаллический трамвай» (1949, «Транспортное машиностроение», 25 копеек) (ЦФА (ИТЦ) #1469; Скотт #1411)
Марка «75 лет со дня рождения Г. Я. Седова (1877—1914)» (1952, 40 копеек) (ЦФА (ИТЦ) #1686; Скотт #1631)
Марка «125-летие со дня рождения пианиста и композитора А. Г. Рубинштейна» (1954, 40 копеек) (ЦФА (ИТЦ) #1799; Скотт #1745)
Марка «Памяти Ци Байши (1860-е гг. — 1957)» (1958, 40 копеек) (ЦФА (ИТЦ) #2116; Скотт #2029)
Марка «Третий советский искусственный спутник Земли» (1958, 40 копеек) (ЦФА (ИТЦ) #2176; Скотт #2083)
Марка «Княжеский писец, XV в.» (1958, «100 лет русской почтовой марке», вместе с В. Волковым) (ЦФА (ИТЦ) #2203; Скотт #2095)
Марка «Гонец, XVI в.» (1958, «100 лет русской почтовой марке», вместе с В. Волковым) (ЦФА (ИТЦ) #2204; Скотт #2096)
Блок «100 лет русской почтовой марке» (1958, вместе с В. Волковым) (ЦФА (ИТЦ) #2214; Скотт #2095—2099a)
Блок «100 лет русской почтовой марке» (1958, вместе с В. Волковым) (ЦФА (ИТЦ) #2215; Скотт #2100, 2103—2106a)
Марка «Неделя письма» (1959, 40 копеек) (ЦФА (ИТЦ) #2362; Скотт #2239)