Вестон обучался игре на пианино, когда был ребенком. Служил в армии США в течение Второй мировой войны. После окончания службы в армии открыл свой ресторан, где часто собирались музыканты, играющие в стиле бибоп.
Вестон сделал карьеру как джазовый музыкант, композитор и лидер бэнда. В конце 1940-х он начал выступать с бендом вместе с Бенджамином Джексоном (), Франком Куллей (англ. Frank Culley) и Эдди Винсоном (). В 1953 году Вестон сотрудничает с американским трубачом и композитором Кенни Дорхамом (), в 1954 году — с саксофонистом Сесилом Пэином (). Вскоре после этого он собирает собственный квартет и выпускает альбом, где он дебютирует в качестве лидера — Cole Porter In a Modern Mood. В 1955 году журнал Down Beat присвоил Вестону титул «New Star Pianist» (Новая звезда фортепьяно).
В 1950-е Вестон выпустил несколько примечательных альбомов, в том числе Little Niles, вышедший в конце десятилетия. Его стиль игры на фортепьяно походил на стили Дюка Эллингтона и Телониуса Монка.
В 1960 музыка Вестона приобретает африканские оттенки, что проявляется в альбомах Uhuru Africa и Highlife: Music From the New African Nations. В работе над обоими альбомами принимала участие оранжировщица Мелба Листон (). Кроме того, в это время бэнд Вестона часто сотрудничает с тенор-саксофонистом Букером Эрвином. Он записал кавер на известную песню Бобби Бенсона () «Taxi Driver», в котором он интегрировал элементы карибской музыки и джаза в стиль Highlife.
В 1967 Вестон путешествует по Африке вместе с американской делегацией. Конечной точкой турне было Марокко, где он решил основать свой Африканский ритм-клуб (англ. African Rhythms Club), работавший с 1967 по 1972 гг. В течение долго времени Вестон записывается на небольших лейблах.