В Вильнюсе живёт с 1959 года. В 1970 году окончил вильнюсскую среднюю школу № 3. В 1978 году окончил Вильнюсский государственный университет по специальности русский язык и литература. В 1977—1987 годах работал инструктором общества «Жальгирис», тренером по атлетической гимнастике.
Свои произведения в периодической печати Литвы начал публиковать в 1975 году. С 1987 года сотрудник журнала Союза писателей Литвы «Литва литературная», в настоящее время «Вильнюс» (журнал сменил название в 1989 году). С 1992 года член Союза писателей Литвы.
Работал на радио и на Литовском телевидении. В 2000—2009 годах был заведующим литературной частью Русского драматического театра Литвы. На сцене Русского драмтеатра в Вильнюсе и других театров ставился спектакль «Берег неба» режиссёра Линаса Марюса Зайкаускаса (1996), написанного Асовским совместно с Зайкаускасом по мотивам рассказов Тонино Гуэрры.
Дебютировал стихотворениями в периодической печати в 1975 году. Подборки стихотворений печатались в газетах «Эхо Литвы», «Голос Литвы», русской версии литовского журнала «Ряды молодежи» (1989, № 7), журнале «Вильнюс». Первая книга стихов вышла в 1987 году.
Перевёл на русский язык стихи Бернардаса Бразджёниса, Владаса Бразюнаса, Томаса Венцловы, Антанаса Гайлюса, Сигитаса Гяды, Ромаса Даугирдаса, Корнелиюса Платялиса и многих других литовских поэтов. Переводы публиковались в периодике и в сборниках литовских поэтов на русском языке. Автор также переводов польской поэзии (в частности, Чеслава Милоша) и прозы.
Произведения Виталия Асовского переведены на абхазский, английский, литовский, польский, финский и другие языки.
По мнению Ромаса Даугирдаса, Асовский по-своему продолжает традицию поэтической школы Серебряного века. Его текстам свойственна классическая форма, сдержанное красноречие, сопряжение метафизического уровня со скупой деталью.