Родился в семье железнодорожника. Начал составлять этюды и задачи в 1926 году. В начальный период творчества работал в так называемом «романтическом» стиле, нередко реализуя оригинальные, парадоксальные идеи ценой неуклюжих начальных позиций с неестественным нагромождением фигур, за что неоднократно подвергался критике. Критики отмечали исключительный творческий талант Королькова, однако указывали, что такие этюды ближе к головоломкам, чем к практической игре. В послевоенный период творчества Корольков в значительной мере учёл эти замечания, и его идеи, оставаясь столь же яркими и остроумными, обрели более отточенную форму.
Корольков — автор более 300 этюдов. Он составил также 230 задач, предпочитая неклассические жанры (кооперативный и обратный мат, задачи-шутки и др.). Более 350 его композиций получили отличия на шахматных конкурсах, в том числе около 70 первых призов. Трижды победитель личных чемпионатов СССР по этюдам: 1929, 1948 (совместно с М. С. Либуркиным), 1965. Многие его этюды послевоенного периода составлены вместе с Л. А. Митрофановым; на трёх конкурсах ФИДЕ (1958, 1960, 1962) оба они совместно удостоены золотых медалей.
Корольков опубликовал также более 100 статей по шахматной тематике, ряд антологий и авторский сборник этюдов. Участвовал в редактировании нескольких шахматных изданий и газетных отделов.
Жена В. А. Королькова – О. И. Семёнова-Тян-Шанская, дважды чемпионка СССР по шахматам, внучка известного географа П. П. Семёнова-Тян-Шанского. У них родились дочь Надежда и сын Александр.
В 2007 году был проведен Юбилейный конкурс «В. Корольков-100».
1. d7 Крe7
2. Лb8! (рассчитывая на 2…f1Ф 3. d8Ф+! Кр:d8 4. Сa6+ Крc7 5. С:f1 с быстрым выигрышем) С:g3!!
3. Лa8!! f1Ф
4. d8Ф+ Кр:d8
5. Сa6+ Сb8!!
6. С:f1 Крc7
7. Сa6! e2
8. С:e2 Крb7
9. Сf3! Кр:a8
10. С:c6 ?
1. Лa8!! e1Ф (1…Кc8 2. Л:a6+ Крb1! 3. Кd4! e1Ф 4. Лa1+!! и 5. Кc2+)
2. Л:a6+ Кa4! (если 2…Крb3, то 3. Л:b6+ Крa4 4. Лa6+ и вечный шах, потому что на Крb5 последует Кd4+)
3. Л:a4+ Крb2
4. Лb4+ Крa3
5. Лb3+! Кр:b3
6. Кd4+ Крa4
7. Кe2!! и появление белого ферзя обеспечено.