Родился в Молотове (ныне Пермь), вырос в городе Кривой Рог на Украине. Отец —художник-акварелист, его предки — запорожские казаки.
С 1962 начал писать стихи. В середине 60-х гг. он вместе с Леонидом Губановым и Юрием Кублановским основал независимое литературное объединение СМОГ.
С 1964 по 1973 Алейников учился на отделении истории и теории искусства исторического факультета МГУ. Был исключен из университета за участие в группе СМОГ и позднее закончил образование заочно.
Алейников работал грузчиком, сторожем, учителем и в газетах. Он зарабатывал хлеб насущный также и как переводчик поэзии народов СССР.