Вячеслав Платонов начал заниматься волейболом в 1954 году. Играл за ленинградские команды СКИФ (1954—1957), СКА (1957—1965) и «Спартак» (1965—1967, с 1967 по 1971 год — играющий тренер). Победитель Спартакиады народов СССР 1959. Мастер спорта с 1959 года.
В 1961 году окончил факультет физического воспитания и спорта Ленинградского педагогического института имени А. И. Герцена.
С 1971 по 1975 и с 1977 по 1989 годы тренировал ленинградский «Автомобилист» — серебряного (1978—1982) и бронзового (1972—1975, 1985, 1987—1989) призёра чемпионатов СССР, обладателя Кубка СССР (1983, 1989), Кубка Кубков (1982, 1983), Кубка Европейской конфедерации волейбола (1988, 1989). В 1975—1977 годах работал в Кувейте с клубом «Кадиссия», в 1989—1990 и 1992—1995 годах возглавлял финский «Лойму».
В 1971—1975 годах возглавлял молодёжную сборную СССР, с которой выиграл три чемпионата Европы (1971, 1973, 1975). В 1975 году в должности старшего тренера завоевал с мужской сборной Ленинграда серебряные медали Спартакиады народов СССР.
В 1977 году, в возрасте 38 лет, Вячеслав Платонов стал тренером мужской сборной команды СССР по волейболу. Под его руководством сборная СССР выиграла Олимпийские игры 1980 года, 6 раз становилась чемпионом Европы (1977, 1979, 1981, 1983, 1985, 1991), 2 раза чемпионом мира (1978, 1982), 3 раза обладателем Кубка мира (1977, 1981, 1991), одержала победу на международном турнире «Дружба-84» и тем самым установила уникальное достижение — с 1977 по 1985 год выиграла все турниры, в которых участвовала.
С 1992 по 1995 годы Платонов работал тренером мужской сборной Финляндии.
С 1995 года возглавлял «Автомобилист» («Балтику», «Спартак») Санкт-Петербург. Одновременно с 1996 по 1997 годы Платонов был тренером сборной России, которая в 1996 году выиграла бронзовые медали Мировой лиги, а на Олимпиаде в Атланте дошла до полуфинала.
Несколько раз Платонов признавался лучшим тренером года в мире. В 2001 году Платонов вместе с японским тренером Ясутакой Мацудайрой был признан лучшим волейбольным тренером XX века. В 2002 году Платонов был избран во Всемирный зал волейбольной славы в Холиоке.
Вячеслав Платонов является автором книг «Уравнение с шестью известными» (1983) и «Суд над победителями» (1993) (литературная запись Алексея Самойлова).
Скончался после тяжёлой болезни в ночь с 25 на 26 декабря 2005 года в Санкт-Петербурге. Похоронен 29 декабря на Никольском кладбище в Александро-Невской лавре.