Футболом начал заниматься в школе «Слована» из Белы-над-Цирохоу, затем продолжил обучение в школе клуба «Снина» из одноимённого города, после чего перешёл в братиславский «Интер». Профессиональную карьеру начал в 2002 году в клубе «Жилина», в свой первый профессиональный сезон провёл 8 матчей, а в следующие 2 сезона сыграл в каждом по 12 встреч, всего провёл за «Жилину» 32 матча и стал, вместе с командой, дважды чемпионом Словакии, один раз вице-чемпионом и один раз обладателем Суперкубка страны. Помимо этого, участвовал в матчах команды в еврокубках.
В июле 2005 года, после завершения контракта с «Жилиной», на правах свободного агента переехал в Польшу, в варшавскую «Легию», в составе которой дебютировал 20 сентября того же года в выездном матче Кубка Польши против клуба КСЗО из города Островец-Свентокшиски. В чемпионате в том сезоне ни разу не сыграл, однако, несмотря на это, всё же получил титул чемпиона страны. Дебютировал за «Легию» в играх чемпионата спустя аж 14 месяцев с момента подписания контракта, сменив в воротах Лукаша Фабианьского в домашнем матче 7-го тура сезона 2006/07 против плоцкой «Вислы», в той игре Ян не пропустил ни одного мяча, а его команда разгромила соперника со счётом 5:0. В том сезоне Муха провёл 7 матчей и стал в составе «Легии» бронзовым призёром чемпионата. В сезоне 2007/08, после ухода Лукаша Фабианьского в лондонский «Арсенал», Ян стал основным вратарём команды, сыграл 29 матчей и стал, вместе с командой, вице-чемпионом Польши и обладателем Кубка, а затем и Суперкубка в 2008 году. В сезоне 2008/09 снова провёл 29 матчей, во второй раз стал вице-чемпионом Польши и по итогам турнира был признан лучшим вратарём чемпионата и включён в символическую сборную «Экстраклясы».
24 января 2010 года подписал контракт с английским клубом «Эвертон». В сезоне 2010/11 в Премьер-лиге на поле не выходил, провёл только два матча в Кубке Футбольной лиги.
Выступал за юношеские (разных возрастов, начиная со сборной для игроков до 14 лет) и молодёжную сборные страны.
В составе главной национальной сборной Словакии дебютировал 6 февраля 2008 года, выйдя на замену во втором тайме проходившего в кипрском Лимасоле товарищеского матча со сборной Венгрии, в той игре Ян пропустил 1 мяч, а встреча завершилась со счётом 1:1. 1 апреля 2009 года дебютировал в отборочном цикле к чемпионату мира 2010 года, выйдя в стартовом составе проходившего в Праге матча против сборной Чехии, в котором словаки неожиданно одержали победу со счётом 2:1. Аналогично выходил с первых минут и в сентябрьских решающих матчах: 5 сентября в проходившей в Братиславе ответной встрече против сборной Чехии, завершившейся вничью 2:2 и 9 сентября в проходившем в Белфасте матче против сборной Северной Ирландии, эту игру Ян отстоял «на ноль», а его команда, одержав победу со счётом 2:0, впервые в истории практически обеспечила себе путёвку в финальную часть чемпионата мира.
Чемпион Словакии: (2)
Вице-чемпион Словакии: (1)
Обладатель Суперкубка Словакии: (1)
Чемпион Польши: (1)
Вице-чемпион Польши: (2)
Бронзовый призёр чемпионата Польши: (1)
Обладатель Кубка Польши: (1)
Обладатель Суперкубка Польши: (1)
Лучший вратарь чемпионата Польши: (1)