Вырос и начал заниматься музыкой в городе Форталеза, консерваторию в котором основал его отец. Затем учился в Рио-де-Жанейро. В середине 1940-х гг. увлёкся джазом и оставил занятия академической музыкой, к которым вернулся в 1948 г., продолжив обучение в США у Уильяма Кейпелла и в Вене у Бруно Зайдльхофера. В 1953 г. выиграл Международный конкурс исполнителей в Женеве, в 1955 г. в Лондоне был удостоен Международной музыкальной премии Гарриет Коэн. Вызывали резонанс совместные выступления Клейна со скрипачом Сальваторе Аккардо и пианистом Фридрихом Гульдой.
Среди записей Клейна наиболее известны ранние (середины 1950-х гг.) диски с самбой и другой музыкой бразильских композиторов (Зекинья де Абреу, Доривал Каимми и др.).
Преподавал в Федеральном университете Рио-де-Жанейро и в Университете Майами; среди учеников Клейна, в частности, Арналду Кохен.