Родился 17 июля 1926 года в деревне Писарево, Коломенского уезда Московской губернии.
В ноябре 1943 года был призван в ряды Советской Армии. В городе Горький, в пятом отдельном запасном полку связи выучился на радиотелеграфиста и ему было присвоено звание сержант. Был направлен служить в 1-ю армию Войска Польского, где Сергей Агапов воевал с фашистами до последнего дня войны. В Германии был ранен осколком в правое бедро, почти полгода провел в Варшавском госпитале и был демобилизован.
Приехал домой инвалидом второй группы, с двумя боевыми медалями на гимнастерке — советской «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» и польской «Заслуженным на поле славы». Вскоре переехал в соседнюю деревню Коростыли Коломенского района, где женился на местной девушке Клаве. Устроился работать в колхоз: был кладовщиком, работал плотником в строительной бригаде. Так работал шесть лет.
В 1952 году в шести километрах от Коростылей у деревни Орехово открыли карьер по добыче камня для нужд строителей района. Агапов устроился туда бутоломом. Затем ему предложили пойти помощником к одному из машинистов экскаватора. С 1 сентября по 1 декабря 1960 года он прошёл курс индивидуального обучения и сдал экзамены. Постановлением квалификационной комиссии С. С. Агапову была присвоена специальность машиниста экскаватора 4-го разряда.
До конца своей трудовой деятельности проработал экскаваторщиком и получил высшую степень трудового отличия — Золотую Звезду Героя.