Родился 24 июня 1897 года в с. Баpаники Области Войска Донского, ныне Сальского pайона Ростовской области.
В 1935 году семья Метяшкиных (Аким Гаврилович, Акулина Михайловна и три их сына) переехала из села Бараники Сальского района Ростовской области в Эсто-Хагинку, Калмыкия. Глава семейства стал трудиться в кустарно-промысловой артели «Путь к коммунизму» специалистом-валяльщиком по изготовлению валенок.
В 1942 году ему пришла повестка и он пошёл на войну. Фронтовой путь Аким Гаврилович начал в боях за Сталинград, в составе частей 5-й ударной армии, сражался западнее Ростова-на-Дону. Затем участвовал в боях на Северном Кавказе, где был трижды ранен. После госпиталя вернулся на фронт и участвовал в битве за Орловско-Курскую дугу.
Свой подвиг он совершил в боях за Днепр. В характеристике командования на Митяшкина говорится:
В дальнейшем 5-я ударная армия в составе 3-го Украинского фронта освобождала Правобережную Украину. В тяжелом бою за деревню Мельница-Подольск погиб Аким Гаврилович Метяшкин. Похоронен он был 5 апреля 1944 года в с. Германовка Борщевского района Тернопольской области.
По другим данным — похоронен в селе Мельница-Подольская того же района, где в сквере в центре села находится братская могила советских воинов, которые погибли в боях за освобождение Мельницы-Подольской — 290 солдатов, сержантов и офицеров. На могиле три плиты из чёрного мрамора, на центральной надпись: «Здесь похоронен Герой Советского Союза рядовой Метяшкин Аким Гаврилович и офицеры».
Похоронен Митяшкин Аким Гаврилович в селе Гермакивка Борщевского района Тернопольская область Украина, могила ухаживается местным сельсоветом. 1 мая 2011 г. прошла панахида по погибшим в ВОВ в с. Гермакивка.