Семья Алексантра Кёнига в 1969 году переехала из Айленбурга в Берлин. Здесь Александр начал заниматься фигурным катанием. Он представлял клуб СК «Динамо» Берлин. Одним из его первых тренеров была Инге Вишневски.
Начинал карьеру Александер Кёниг как одиночник, в качестве которого он стал третьим на чемпионате мира среди юниоров в 1982 году.
В 1985 году Кёниг перешёл в парное катание и его партнёршей стала Пегги Шварц. Тренеровала их Хайдемари Штайнер-Вальтер. С первых же лет пара освоила сложный для того времени тройной тулуп. Наибольшим успехом в парном катании у них стала была бронзовая медаль на чемпионате Европы 1988 года. Они трижды участвовали в Олимпиадах, и все три раза занимали 7-е место.
В 1990 году Пегги Шварц и Александр Кёниг перешли тренироваться к Кнуту Шуберту. В 1994 году пара распалась, так как Пегги Шварц была беременна. Александер Кёниг закончил свою любительскую карьеру.
С 1985 по 1988 году Александер Кениг изучал гастрономию. С 1994 по 1997 год он учился на тренера в Кельне. Он имеет лицензию тренера DEU (Федерация фигурного катания Германии). Уже во время учебы он работал в качестве тренера в Штутгарте, затем в Хемнице, а с 2001 по 2008 год работал в Берлине. Он также является судьёй в фигурном катании и техническим специалистом ИСУ. Летом 2008 года Александер переехал в Оберстдорф и сейчас тренирует там.
Кроме того, с 1983 года Кёниг увлекается живописью и было несколько выставок его картин.
(с П.Шварц)