Отец Александра Абрамовича (в 1809 году — диакон) скончался священником в 1814 году, оставив на руках матери, без всяких средств, кроме маленького домика, 2 сыновей и дочь — малолеток.
В местное духовное училище и тверскую семинарию сирот сыновей приняли на епархиальный счет. Холщевников, учитель духовного училища в Торжке, дядя Воскресенского, первый заметил в нем особые таланты и настоял на необходимости дальнейшего учения будущего русского ученого. Семинарию Воскресенский окончил первым и в числе немногих (с H. H. Тихомандрицким) поступил в Главный педагогический институт, который закончил в 1836 году и, получив золотую медаль, был отправлен за границу, с плеядой тех известнейших и талантливейших русских профессоров, которыми граф Уваров задумал заменить наплыв иностранных профессоров в русские университеты.
Ученик Гесса, бывшего профессором химии в Педагогическом институте, Воскресенский изучил подробности химических методов исследования за границей у таких передовых ученых того времени, как Митчерлих, Розе и Магнус в Берлине и Либих — в Гиссене. Лаборатория последнего в те годы была центром, куда стекались со всех концов мира изучать новую тогда область исследования органических (углеродных) соединений. Либих отзывался о Воскресенском, как одном из самых талантливых среди всей массы его учеников, которому все трудное давалось с легкостью, который на сомнительном распутье сразу выбирал лучший путь, кого любили и верно ценили окружающие.
Здесь, у Либиха в Гиссене, Воскресенский из ученика уже стал ученым, решающим научные вопросы времени, и с 1838 года (в «Annalen d. Chemie und Pharmacie», позднее «Liebigs Annalen») начинается список статей «дедушки русских химиков». Здесь он опубликовал, например, «действие серного ангидрида на маслородный газ», «состав хинной кислоты» и «элементарный состав нафталина», который до того времени был сомнителен и имел важное значение, как для решения вопроса об атомном весе углерода, так и для суждения о составе углеводородов, бедных водородом, которые ныне называются — ароматическими соединениями.
С 1838 года — адъюнкт (при профессоре Соловьеве) химии в Петербургском университете и инспектор в главном педагогическом институте.
В 1839 году получил степень доктора («философии», как тогда называли докторов естествознания), написав сочинение о хинной кислоте, где опубликовано его исследование о 1,4-хиноне (впервые им полученным и названым хиноилом).
С 1843 года — профессор.
С 1864 года — Член-корреспондент Петербургской АН.
Воскресенский открыл и установил состав алкалоида теобромина, сходного с кофеином и содержащегося в какао (шоколаде). Добыв образцы, тогда мало кому известных, русских, особенно донецких, каменных углей, Воскресенский с полной точностью установил их состав и тем показал, что для всяких требований техники найдутся в России свои каменные угли, ни в чем иностранным не уступающие, а кое в чем и превосходящие лучшие сорта иностранных углей. Он участвовал в обсуждении вопросов о материалах для окончания постройки Исаакиевского собора и для починки трещины, образовавшейся на Александровской колонне, Воскресенский много содействовал своими знаниями удачному исходу этих работ. Так, например, трещина на Александровской колонне остановлена и закрыта с полнейшим успехом, благодаря указанию Воскресенским того состава, который должно было придать закрывающей массе. Не следует забывать, что в то времена ещё и не помышляли о синтетических клеящих веществах, подобных тем, которые появились в XX столетии — этим трудом, своеобразно связав своё имя с одним из основных монументов России, А. А. Воскресенский запечатлелся в истории отечества. Воскресенский являлся популяризатором применения минеральных удобрений в России, подчёркивая, что их вполне можно производить из отечественного сырья.
Проникшись основной мыслью графа Уварова, Воскресенский заменяет Гесса после его смерти, и старается, может быть даже сверх меры, удовлетворить всем требованиям, обращенным к нему, как к новому русскому химику. Он читает в университете, в педагогическом институте, в институте путей сообщения, в инженерной академии, в пажеском корпусе и в школе гвардейских подпрапорщиков, и удерживает эти места, пока не народился сонм свежих русских сил, могущих его заменить. Плодом такой усиленной педагогической деятельности является то множество русских химиков, которое и дало Воскресенский прозвище «дедушки русских химиков». Чтобы указать, какую любовь к делу, какую охоту к разработке химических знаний и какую основу самобытного развития этих знаний в России внушали чтения Воскресенский, достаточно сказать, что между его учениками были H. H. Бекетов, H. H. Соколов, H. А. Меншуткин, А. Р. Шуляченко, П. П. Алексеев, Д. И. Менделеев и множество других лиц, укрепивших как в ученом мире всего света, так и во всех концах России и на многих практических поприщах значение русских химиков. Воскресенскому и Зинину, его сверстнику, принадлежит честь быть зачинателями самостоятельного русского направления в химии.
Важна еще одна черта педагогической деятельности Воскресенского. Он, ученик Либиха, проводивший и в чтениях, и в сочинениях идеи Берцелиуса и своего учителя, всегда ясно видел, что истинное знание не может ограничиваться односторонностью, своих учеников заставлял сопоставлять мысли и взгляды Берцелиуса и Либиха с учениями Дюма, Лорана и Жерара, тогда уже выступивших, но еще далеко не получивших господства. Мало того, Воскресенский ясно уже видел превосходство понятий французской школы и предвидел то, что должно было постичь понятия дуалистов, господствовавшие в эпоху 1840-х годов. К этим понятиям он всегда относился скептически, считая истинно научным делом только возможно твердое следование за фактами, добывать которые и разбирать он и учил массу своих слушателей.
С 1863 по 1867 годы избирался ректором Санкт-петербургского университета. Ректорство Воскресенского отличалось тем, что он много заботился о приведении в полный порядок как научного состава профессоров, так и самой внешности университета. Время ректорства Воскресенского относится к той эпохе Санкт-Петербургского университета, когда в нем скопилось наиболее русских сил между профессорами и когда число студентов стало весьма быстро возрастать.
Химики Русского физико-химического общества собрали капитал общего имени Зинина и Воскресенский, на проценты которого общество будет выдавать премии имени основателей самостоятельного развития химических знаний в России.