Выпускник историко-филологического факультета Московского университета 1917 года.
В 1917-1920 гг. в Саратовском университете под руководством известных ученых М. К. Любавского и В. И. Веретенникова работал над магистерской диссертацией «Западнорусские школы в XVI—XVIII вв.»
1921-1924 гг. — доцент кафедры русской истории Белорусского университета.
1924-1930 гг. — доцент, потом профессор Пермского университета, заместитель декана педагогического факультета Пермского университета.
В 1924 году первым на Урале начал читать лекционный курс по истории края.
1931-1932 гг. — профессор, заведующий кафедрой истории народов СССР Пермского индустриально-педагогического института.
С середины 1920-х до начала 1930-х годов Александр Антонович создал научную школу пермских историков-ураловедов, начал исследование истории русской колонизации Пермского края, народных движений на его территории и хозяйственного освоения Прикамья.
Его курс лекций по истории региона — «Прошлое Урала», опубликованный 1925 году — стал первым историческим исследованием, обобщающим весь огромный период времени от заселения Урала человеком и до конца XIX века.
Отдельно были исследованы проблемы крестьянского и рабочего движения в дореволюционный период. Так, в его «Очерках истории крестьянских волнений на Урале в XVIII—XX вв.» (М., 1931), на основании анализа и обобщения значительных объёмов архивного материала, была дана иная, отличная от господствовавшей в эти годы и гораздо более низкая оценка организованности и зрелости волнений рабочих в крепостную эпоху. Исследователь видел в этих волнениях полурабочих-полукрестьян.
Савич также анализировал события пугачёвского движения на Урале и в Прикамье, публиковал интересные статьи о деятельности Чермозского тайного «Общества вольности» в пермском имении Лазаревых 1836 года, истории монастырской колонизации и монастырского хозяйства на Урале в XVI-XVII вв. и ряд других. Его научная деятельность послужила основой для дальнейшего развития традиций и опыта пермского исторического краеведения.
Во всех этих организациях Савич выступал с научными сообщениями по истории и культуре Урала, рассказывал об антикрепостнических выступлениях. Делал доклады по проблемам историографии. Некоторая часть этих сообщений была опубликована в виде статей.
В 1932 году, на основании того, что Савич проводит «антимарксистские установки в своих научных трудах» и не обеспечивает «преподавание своего предмета на основе марксистско-ленинской методологии», он был «отчислен» от занимаемой должности профессора Пермского пединститута, однако в дальнейшем переведён в Ярославский пединститут.
В последующие годы работал в вузах Минска и Москвы, в Государственном историческом музее, Институте истории АН СССР. Последнее место работы — Московский государственный заочный педагогический институт.
А. А. Савичу принадлежат более 120 печатных работ, в том числе ряд монографий.