«Физрук в школе взял за руку и привёл в волейбольную секцию. Сказал: будешь играть в волейбол. Два раза убегал, но в третий раз привёл силком. Пришлось остаться». Так Александр Косарев рассказывал о том, как он пришёл в волейбол. Первый тренером Александра был Юрий Анатольевич Кравцов, первым профессиональным клубом — «Надзбручье» из Тернополя.
В 1997 году Александр Косарев вместе группой молодых украинских волейболистов по инициативе старшего тренера «Белогорья-Динамо» Юрия Венгеровского переехал из Тернополя в Белгород. В 1998 году он принял российское гражданство, в 1999-м прочно занял место в стартовом составе белгородской команды, принял участие в ряде товарищеских матчей сборной России.
Первый официальный матч за сборную России Александр Косарев провёл 28 мая 2000 года на турнире Мировой лиги — россияне в Эйндховене встречались с голландцами и выиграли со счётом 3:1. В дальнейшем Косарев несколько раз ненадолго выпадал из обоймы национальной команды, но своими выступлениями в клубах вновь доказывал, что достоин быть в её составе. На двух Олимпиадах, в Афинах-2004 и Пекине-2008, Александр Косарев был одним из ключевых игроков сборной России, выигрывавшей бронзовые медали. Всего провёл 120 матчей за сборную и набрал в них 448 очков.
С именем Александра Косарева связаны практически все успехи непобедимого в начале XXI века «Локомотива-Белогорья», а также «Динамо-ТТГ», за которое он выступал в течение двух сезонов, после чего на год вновь вернулся в Белгород. С обоими клубами Александр побеждал в Лиге чемпионов, чемпионатах и Кубках России, в 2009 году в составе «Локомотива-Белогорья» стал обладателем Кубка CEV. В сезоне 2009—2010 Александр Косарев выступал в составе новоуренгойского «Факела». В межсезонье вновь вернулся в «Белогорье».