Родился в городе Красноармейске. Довольно успешно занимался хоккеем. Признавался лучшим игроком в сезоне. Когда Александру исполнилось 10 лет, хоккейные тренеры сказали родителям Лёгкова, что надо отдавать его в серьёзный клуб в Москву. Но ни денег, ни времени на это не было. На этом хоккейная карьера Александра закончилась.
До 9-го класса Лёгков учился без троек, а потом стал ездить на сборы, и успеваемость снизилась. Какой-то период спортом вообще не занимался. Тогда отец сказал, что всё-таки надо что-то выбирать. Так Лёгков оказался в биатлоне. Первым тренером был Владимир Иванович Загулов. «Царство ему небесное. Хороший был дедушка. Недавно скончался. Он никогда не давил на нас. На тренировках мы играли в футбол, занимались чем угодно. Стреляли редко. Но, как ни странно, навык в стрельбе остался. Я до сих пор стреляю очень хорошо. Черезов, Круглов отмечают, что и стойка, и лёжка у меня правильные. Плюс к этому я охотник-любитель. У меня и отец, и брат тоже охотники», — рассказывает Лёгков. Из биатлона в лыжи Лёгков перебрался случайно: на одном из сборов его приметили тренеры-лыжники и переманили к себе.
Мама Александра занималась лёгкой атлетикой. Сейчас работает учительницей физкультуры в средней школе. Папа увлекался разными видами спорта, в том числе и лыжными гонками. Он бизнесмен. Если бы Лёгков не стал лыжником, он бы стал актёром. «В театральный институт пошёл. Чувствую к этому склонность. Люблю пародировать. И это у меня получается. К тому же многие мои друзья — кавээнщики. Я и сам играю в КВН. После Олимпиады в Турине мы с ребятами из нашего города создали команду „Олимпийская деревня“. Я всем раздал форму, кому шарфик, кому футболку, кому шорты. Прикольно было выступать. На передачу „Комеди Клаб“ с удовольствием хожу. А еще клички для ребят из нашей сборной придумываю», — рассказывает Лёгков.