Александр Карлович Бошняк родился 15 августа 1786 года в селе Ушакове Нерехтского уезда Костромской губернии в богатой дворянской семье (отец — премьер-майор Карл Иванович Бошняк, дед — комендант Саратова Иван Константинович Бошняк, мать — Надежда Александровна Аже). Образование получил в Благородном пансионе при Московском университете. После обучения много путешествовал по России.
В 1816—1820 годах был нерехтским уездным предводителем дворянства в Костромской губернии.
С 1820 года А. К. Бошняк жил в Херсонской губернии, где был чиновником при начальнике Южных военных поселений графе И. О. Витте, по заданию которого вошёл в доверие к декабристам В. Н. Лихареву и В. Л. Давыдову. Он два раза сообщал Витте о планах тайного общества. В 1826 году был вызван в Следственный комитет, дал показания и отпущен. В июле 1826 года командирован в Псков для тайного сбора сведений о А. С. Пушкине. В 1829—1830 годах избран вице-президентом Молдаво-Валашского дивана. В 1830—1831 годах в Бухаресте участвовал с корпусом Витта в подавлении польского восстания, при возвращении русских войск умер от горячки в городе Баре. Сведения об его убийстве недостоверны.
В своих поездках на юг и запад России А. К. Бошняк собрал многочисленные ботанические коллекции, а результаты их опубликовал (1820—1821) в двух томах под названием «Дневные записки путешествия А. Бошняка в разные области западной и полуденной России, в 1815 году», где приводится много флористических данных о посещенных им местах. Цветные рисунки к изданию выполнялись крепостными А. К. Бошняка, специально обученными срисовывать растения с натуры.
По завещанию его гербарий, 335 неопубликованных цветных рисунков растений, богатая библиотека и 70 ящиков коллекций насекомых были переданы в 1832 году Московскому обществу испытателей природы. Значительную часть книг для своей библиотеки А. К. Бошняк покупал на рынке в Москве после изгнания французов, «ибо после французов богатые книги из библиотек московских валялись по улицам и перешли в руки простого народа»
Сборы А. К. Бошняка сейчас хранятся в гербарии Московского университета.
В честь А. К. Бошняка назван род растений из семейства заразиховых, описанный К. А. Мейером — Бошнякия (Boschniakia).